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立体几何知识点整理（文科） 直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 符号表示： 2. 线面相交 符号表示： 3. 线在面内 符号表示： 平行关系： 线线平行： 方法一：用线面平行实现。 方法二：用面面平行实现。 方法三：用线面垂直实现。 若，则。 方法四：用向量方法： 若向量和向量共线且l、m不重合，则。 线面平行： 方法一：用线线平行实现。 方法二：用面面平行实现。 方法三：用平面法向量实现。 若为平面的一个法向量，且,则。 面面平行： 方法一：用线线平行实现。 方法二：用线面平行实现。 三．垂直关系： 1. 线面垂直： 方法一：用线线垂直实现。 方法二：用面面垂直实现。 2. 面面垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：计算所成二面角为直角。 线线垂直： 方法一：用线面垂直实现。 方法二：三垂线定理及其逆定理。 方法三：用向量方法： 若向量和向量的数量积为0，则。 夹角问题。 异面直线所成的角： (1) 范围： (2)求法： 方法一：定义法。 步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。 步骤2：解三角形求出角。(常用到余弦定理) 余弦定理： (计算结果可能是其补角) 方法二：向量法。转化为向量的夹角 (计算结果可能是其补角)： 线面角 (1)定义：直线l上任取一点P（交点除外），作PO于O,连结AO，则AO为斜线PA在面内的射影，(图中)为直线l与面所成的角。 (2)范围： 当时，或 当时， (3)求法： 方法一：定义法。 步骤1：作出线面角，并证明。 步骤2：解三角形，求出线面角。 二面角及其平面角 (1)定义：在棱l上取一点P，两个半平面内分别作l的垂线（射线）m、n，则射线m和n的夹角为二面角—l—的平面角。 (2)范围： (3)求法： 方法一：定义法。 步骤1：作出二面角的平面角(三垂线定理)，并证明。 步骤2：解三角形，求出二面角的平面角。 方法二：截面法。 步骤1：如图，若平面POA同时垂直于平面，则交线(射线)AP和AO的夹角就是二面角。 步骤2：解三角形，求出二面角。 方法三：坐标法(计算结果可能与二面角互补)。 步骤一：计算 步骤二：判断与的关系，可能相等或者互补。 距离问题。 1．点面距。 方法一：几何法。 步骤1：过点P作PO于O，线段PO即为所求。 步骤2：计算线段PO的长度。(直接解三角形；等体积法和等面积法；换点法) 2．线面距、面面距均可转化为点面距。 3．异面直线之间的距离 方法一：转化为线面距离。 如图，m和n为两条异面直线，且，则异面直线m和n之间的距离可转化为直线m与平面之间的距离。 方法二：直接计算公垂线段的长度。 方法三：公式法。 如图，AD是异面直线m和n的公垂线段，，则异面直线m和n之间的距离为： 高考题典例 考点1 点到平面的距离 例1如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点． （Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求点到平面的距离． 解答过程（Ⅰ）取中点，连结． 为正三角形，． 正三棱柱中，平面平面， 平面．连结，在正方形中，分别为的中点， ， ． 在正方形中，， 平面． （Ⅱ）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（Ⅰ）得平面． ， 为二面角的平面角． 在中，由等面积法可求得， 又， ． 所以二面角的大小为． （Ⅲ）中，，． 在正三棱柱中，到平面的距离为． 设点到平面的距离为． 由，得， ． 点到平面的距离为． 考点2 异面直线的距离 例2 已知三棱锥，底面是边长为的正三角形，棱的长为2，且垂直于底面.分别为的中点，求CD与SE间的距离. 解答过程： 如图所示，取BD的中点F，连结EF，SF，CF， 为的中位线，∥∥面,到平面的距离即为两异面直线间的距离.又线面之间的距离可转化为线上一点C到平面 的距离，设其为h，由题意知，,D、E、F分别是AB、BC、BD的中点， 在Rt中， 在Rt中， 又 由于，即，解得 故CD与SE间的距离为. 考点3 直线到平面的距离 例3． 如图，在棱长为2的正方体中，G是的中点，求BD到平面的距离. 思路启迪：把线面距离转化为点面距离，再用点到平面距离的方法求解. 解答过程：解析一∥平面， 上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求 点O平面的距离, ，，平面, 又平面 平面，两个平面的交线是, 作于H，则有平面，即OH是O点到平面的距离. 在中，. 又. 即BD到平面的距离等于. 解析二 ∥平面， 上任意一点到平面的距离皆为所求，以下求点B平面的距离. 设点B到平面的距离为h，将它视为三棱锥的高，则 , 即BD到平面的距离等于. 小结：当直线与平面平行时，直线上的每一点到平面的距离都相等，都