新概率论与数理统计 教学课件 于义良 总主编 安建业 张银胜主编 著 CHAPTER2.PPT

例2.2.2 (X,Y)的联合概率分布为: X 0 1 Y 0 1 0.3 0.4 0.2 0.1 (1)求X,Y的边缘分布; (2)判断X,Y是否独立. (3)求F(0,2). 解:(1)X,Y的概率分布分别为: X 0 1 P 0.7 0.3 Y 0 1 P 0.5 0.5 (2)P(X=0,Y=0)=0.3 P(X=0)P(Y=0) =0.35 X,Y不独立. 注意:X,Y独立时,需对所有的(xi,yj)一一验证. =0.7×0.5 (3)F(0,2)=P(X≤0,Y≤2)=0.3+0.4=0.7 例2.2.3 设(X,Y)服从区域D上的均匀分布,判断X,Y的独立性,其中(1)D={(x,y),|x|≤1,|y|≤1};(2)D={(x,y),x2+y2≤1} f1(x)= |x|≤1 |x|1 0 f2(y)= 解 (1) 同理, 所以,X,Y独立. (2) X,Y不独立. 例2.2.4 设随机变量X和Y相互独立,试将下表补充完整. X x1 x2 Y y1 y2 y3 1/8 1/8 1/6 1 1/24 1/4 1/12 1/2 1/3 3/4 3/8 1/4 P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1) 1. 设随机变量X，Y是相互独立的，且X,Y等可能地取0，1为值，求随机变量Z=max(X,Y)的分布列。 解 X 0 1 P 1/2 1/2 Y 0 1 P 1/2 1/2 (X,Y)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1), Z=max(X,Y)的取值为:0,1 P(Z=0)=P(X=0,Y=0)= P(X=0)P(Y=0) =1/4 P(Z=1)= =3/4 所以,Z的分布列为 Z 0 1 P 1/4 3/4 课堂练习 2. 已知随机向量(X,Y)的联合密度为 (1)问X与Y是否独立？(2)求概率P{X〈Y}. 解 (1) (2)P(XY)= 所以,X,Y独立. 离散型随机变量X1,X2,…，X n相互独立等价于联合概率分布等于边缘概率分布的乘积。 连续型随机变量X1,X2,…，X n相互独立等价于联合概率密度函数等于边缘概率密度函数的乘积。 定义 称n个随机变量X1,X2,…，X n相互独立,若对任意 a ib i( i=1,2,…，n), 有 P{a1X1b1,a2X2b2,…,a nX nb n}= P{a1X1b1}…P{a nX nb n} 特别 若n个随机变量X1,X2,…,X n相互独立,则它们中的任意 m(1m≤n)个随机变量也相互独立. 可以证明 n个随机变量独立性的概念与性质 定义 称随机变量序列X1,X2,…,X n,…为相互独立的, 如果它们中任意m(m=2,3,…)个随机变量都是相互独立的. 特别若每个X i(i=1,2,…)的分布也相同, 则称之为 独立同分布 (i.i.d)的随机变量序列。 随机变量序列独立性的概念 返回 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 第2章 随机向量 第2.1节 随机向量及其分布 第2.2节 随机向量的联合分布函数 1. n 维随机向量 以 n 个随机变量 X1，X2，…，Xn 为分量的向量 X=(X1,X2,…,Xn)称为n维随机向量。 以下主要研究二维离散型及连续型随机向量的情形。 2. 二维离散型随机向量的联合概率分布、边缘概率分布 定义 如果二维随机向量（X,Y）的全部取值数对为有限个或至多可列个，则称随机向量（X,Y）为离散型的。 易见，二维随机向量(X,Y)为离散型的等价于它的每个分量X与Y分别都是一维离散型的。 第2.1节 随机向量及其分布 称pij=P(X=xi,Y=yj),(i,j=1,2,…,)为(X,Y)的联合概率分布.其中E={(xi,yj),i,j=1,2,...}为(X,Y)的取值集合,表格形式如下: X x1 x2 … x i … y1 y2 … y j … p11 p12 … p1j … p21 p22 … p2j … … …