新概率论与数理统计及其应用 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材 教学课件 2 李昌兴 第5讲 随机变量的概念与离散性随机变量.pptVIP

第5讲 随机变量的概念与离散型随机变量 一、随机变量的概念 伯努利资料 泊松资料 (2) 二项分布 　　将试验E 复进行n 次, 若各次试验的结果互不影响, 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其它各次试验的结果, 则称这n 试验是相互独立的,或称为n 次重复独立试验. (a) n重复独立试验 设E为一贝努里试验，将E在相同的条件下重复进行n次,每次试验中事件发生的可能性保持不变且为p. 把这n次独立重复试验看成一次试验，这个试验称为n重贝努里试验。 (b) 贝努里试验概型 (c) 二项分布的概念 定理1 在n重贝努里试验中,如果事件A在每次试验中发生的概率为p.那么事件A在n重贝努里试验中恰好发生k此的概率为 (2) 二项分布 如果随机变量X的分布率为 则称X服从参数为n, p 的二项分布.记作 0–1 分布是 n = 1 的二项分布. P .039 .156 .273 .273 .179 .068 .017 .0024 .0000 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 (d) 二项分布的取值情况 设 即 0.273? x P ? 0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 由图表可见, 当k=2或3时， 分布取得最大值 此时的k称为最可能成功次 数。 ? ? x P ? ? ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 9 ? ? ? ? 0 ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 10 ? 20 由图表可见, 当k=4时，分 布取得最大值 0.22 ? P .01 .06 .14 .21 .22 .18 .11 .06 .02 .01 .002 .001 X 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ~ 20 设 即， (d) 二项分布的取值情况 (d) 二项分布的取值情况 若对X的一切可能取值 j,有 , 则称k为最可能出现的次数. 当( n + 1) p= 整数时, 在 k = ( n + 1) p与 ( n + 1) p – 1 处的概率取得最大值。 对固定的 n、p, P ( X = k) 的取值呈不 对称分布； 固定 p, 随着 n 的增大，其取值的分布趋于对称. 当( n + 1) p ? 整数时, 在 k = [( n + 1) p ] 处的概率取得最大值。 若对X的一切可能取值 j,有 , 则称k为最可能出现的次数. (d) 二项分布的取值情况 二项分布的图形 例16 独立射击5000次, 命中率为0.001,求(1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于1次的概率. 解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5 (2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001). 小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就成大概率事件.因此决不要轻视小概率事件。 本例 启示 由此可见日常生活中“提高警惕, 防火防盗”的重要性. 由于时间无限, 自然界发生地震、海啸、空难、泥石流等都是必然的，早晚的事，不用奇怪，不用惊慌. 同样, 人生中发生车祸、失恋、身患绝症、考试不及格、炒股大亏损等都是正常现象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不开而跳楼自杀、自缢身亡等等. 古人云：留得青山在，不怕没材烧。 例16 独立射击5000次, 命中率为0.001,求(1)最可能命中次数及相应的概率；(2)命中次数不少于1次的概率. 解 (1) k = [( n + 1)p ] = [( 5000+ 1)0.001] =5 (2) 令X 表示命中次数,则 X ~ B(5000,0.001) 小概率事件虽不易发生，但重复次数多了，就 成大概率事件.因此决不要轻视小概率事件. 本例 启示 如果射手在5000次射击中，命中目标不足一次，根据实际推断原理，有理由认为该射手射 击的命中率达不到0.001. (3) 泊松(Poisson)分布 如果随机变量X的分布率为 其中 是常数，则称X服从参数为 的泊松分布.