树钩长公式和q扩展.pdf

摘要 摘要 钩长是组合结构中最重要的指标之一，钩长公式在代数组合学中占据着重要 的地位．众所周知，对称群不可约表示A对应的维数正好就是形状为A的标准杨 杨表的个数，即著名的钩长公式．Frame-Robinson-Thrall钩长公式已经用代数， 组合，概率等方法得到很多经典证明．此外，Knuth给出了类似的钩长公式用以 计数给定结构的递增二叉树的个数，Bj5rner和Wachs推导出森林钩长公式的g 模拟形式．钩长公式整齐的形式和深刻的组合意义，使得钩长公式在组合学各个 领域得到了深入的研究． 最近，Postnikov在研究置换多面体组合性质的时候发现了一个具有新颖形 式的二叉树钩长公式．学者们已经得到了Postnikov钩长公式的各种证明方法和 众多推广形式．对文献中各种钩长公式仔细研究之后，韩国牛发现了一种获得钩 长公式的展开技术．通过这个方法，可以重新推导出Nekrasov-Okounkov公式， 该公式是欧拉乘积幂对于分拆钩长的展开形式．欧拉乘积幂研究的核心就是探索 不同幂的展开形式．应用展开技术还可以得到很多关于分拆，二叉树，完全二叉 树以及斐波那契树的各种钩长公式，包括文献中很多钩长公式的统一形式．韩国 牛提出了很多简洁漂亮的钩长公式，并要求给出其组合证明．此外韩国牛提出的 有关钩长公式的猜想也引起了很多研究者的兴趣． 本文重点研究各种类型树上的钩长公式以及若干q扩展．本文主要推广了韩 国牛的展开技术，在七叉树，平面树和平面森林，有根树和森林的结构上得到 了很多钩长公式．作为一些特例，我们也得到了很多文献中已经出现过的钩长公 式．本文还得到了一些简单漂亮的钩长公式，Thomas和Eriksen分别给出了一 些组合解释．本文引入了七叉树的一种梯形标号结构，该结构可以准确刻画韩 国牛提出的二叉树上的两个钩长公式，并给出组合证明，解决了他提出的两个问 摘要 题．此外本文还重点研究了符号森林钩长公式的q扩展问题．我们通过研究符号 major和r-major三个指标，得到了符号森林钩长公式的q扩 森林的逆序数，flag 展形式，并且我们发现这三个指标是同分布的．我们的公式还可以看作Bj6mer 和Wachs得到的森林钩长公式q扩展的B形式．最后我们也给出了偶次符号森 林对于逆序数的D形式模拟． 关键词，杨表，分拆，二叉树，七叉树，平面树，标号树，钩长公式，扩展技术， 梯形标号，双射，(只t￡，)分叉，Coxeter群的B形式，Mahonian统计量 Ⅱ Abstract Abstract indicesin structures． Hook isoneofthemost combinatorial length important Hook formulaholdsan in combinatorics．It length importantpositionalgebraic iswellknownthatthedimensionoftheirreducible representationcorresponding to入ofthe tothenumberofstandardtableauxof symmetricgroupequals Young enumerationformulaofstandardtableauxof shape入．The Young givenshape， as knownh00k formula．intermsofthe ofh00k wasfirst