优化方案2016届高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性与周期性配套课件 理 人教版 .ppt

【名师点评】　本题的技巧就是指数的恒等变形， f(x)＝2x＋2－x，至此结论显而易见．若本题直接写f(－x)是比较麻烦的，作为选择题此解法是不好的．当然本题可逐个排除A、B、C.此题易错选为A，其原因是化简出错． 本题外观上看是考查图象对称性，其实质是函数奇偶性的定义和对称性，出题别致，属于中、低档题． 目录 §2.4　函数的奇偶性与周期性 本节目录 教材回顾夯实双基 考点探究讲练互动 考向瞭望把脉高考 知能演练轻松闯关 教材回顾夯实双基 基础梳理 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有___________,那么函数f(x)是偶函数 关于_____对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有__________________,那么函数f(x)是奇函数 关于_____对称 f(－x)＝f(x) y轴 f(－x)＝－f(x) 原点 2.函数的周期性 (1)周期的定义 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有______________，则称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为函数f(x)的周期． (2)最小正周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的_____________． f(x＋T)＝f(x) 最小正周期 思考探究 1．奇、偶函数的定义域有什么特点？ 提示：奇、偶函数的定义域在数轴上都关于原点对称． 2．存在既是奇函数又是偶函数的函数吗？ 提示：存在，f(x)＝0(x∈R)． 课前热身 1．(教材改编)设f(x)＝x3＋2x，g(x)＝2x4＋3x2，则y＝f(x)·g(x)是(　　) A．奇函数　　　　　　　　 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 答案：A 答案：A 答案：A 4．(2012·高考上海卷)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝__________. 解析：∵y＝f(x)＋x2是奇函数，∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0.∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.∵g(x)＝f(x)＋2， ∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1. 答案：－1 5．f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数， 则f(3)＝__________. 答案：0 考点探究讲练互动 考点突破 例1 【思路分析】　可从定义域入手，在定义域关于原点对称情况下，考查f(－x)与f(x)的关系． (4)易知f(x)的定义域为R. ∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数． 【误区警示】　对于(1)只代入－x而得出偶函数结论，对于(2)易丢掉定义域，对于(3)只判断一部分． 考点2　函数的周期性 函数的周期性是指函数的重复性变化，是对于定义域内的所有自变量x来说的，不是指某几个特定的自变量，若T是它的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是该函数的一个周期． 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(x＋2)＝－f(x)， (1)求f(0)的值，f(2)的值． (2)证明f(x)是周期函数，并求最小正周期． 【思路分析】　(1)x＝0→f(0)→f(2)； (2)f(x＋4)→f(x＋2)→T. 例2 【解】　(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0. 又∵f(x＋2)＝－f(x)， 当x＝0时，f(2)＝－f(0)＝0. (2)证明：由f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是最小正周期为4的周期函数． 跟踪训练 1．(2012·高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 012)＝(　　) A．335 B．338 C．1678 D．2012 解析：选B.由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6， 所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0， f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2， 所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338，故选B. 例3 考点3　函数性质的综合应用