初等矩阵的射影几何意义及其应用.pdfVIP

维普资讯 自．鞋科乎迤展 第15卷 第9期 2005年9月 初等矩阵的射影几何意义及其应用 陈 自强 华东理工大学 材料科学与工程学 院高分子材料系 ，上海 200237 摘要 利用 Desargues定理的一个推论和引申的Desargues图形，给出 “空间透射”在射影几何 意义下基于齐次坐标表象的解析定义，从而解析定义 了可蕴涵其 中的中心投影、平行投影、中心对 称、平移、反射等几何变换 以及可 由此衍生出的旋转变换．得 到 了这类变换可惟一确定的解析解， 并发现空间透射解析解与初等矩阵有一一对应关系．这不仅为几何变换空间透射找到简洁的解析形 式，同时赋予数值计算工具初等矩阵以射影几何意义．由此 出发，可重新解释包括 Householder方 法在 内的一些线性代数方程组的直接解法，提 出实际上是并行算法的焦平面法．通过给 出的中心投 影和平行投影等的解析解，提 出计算机 图形学、尤其是三维重建方面，基于齐次坐标表象的公理化 的理论框架 ，并 由此得到采用 Moore—Penrose广义逆的、具有较为一般意义 的投影与重建过程的解 析表达 式． 关键词 初等矩阵 齐次坐标 Desargues定理 透视投影 三维重建 射影几何 所谓 “表象” (representation)，是指一种用于 这种既有表象因为采用变换矩阵的元素作为对 对相应 的实体或信 息的集合进 行描述 的形式化系 几何变换进行定义 的特征参数 (如旋转变换矩阵 中 统 ，它还包含该系统行使其职能 的若干概念 、规则 用特定位置的矩 阵元素表示旋转角的正余弦数值 等l_1]．按照 Marr的观点 ，尽管对 同一对象的描述往 等)，因此对于变换矩阵形式、尤其对坐标系的选择 往可以采用多种表象，但采用何种表象对于表达的 依赖性强 ，即使从应用 的角度看也不尽理想．本文 难易有很大影响[1]． 拟提出改善的表象方法 以其克服传统方法的这些缺 众所周知 ，图形学的几何变换理论 中，某些几 点． 何变换只有基于齐次坐标的 “表象”才能简洁地表 鉴于许 多几何变换 只有在射影几何意义下基于 达为矩阵形式 ]．齐次坐标最早 由 19世纪 MObius 齐次坐标时才可表达为矩阵形式 ，改善的表象体系 和 Pltiker作为射影几何代数表达工具分别独立引 下几何变换的定义应 以射影几何学为基础 ，它亦应 入 。·． 可独立于其欧 氏几何背景 ，逻辑上完备地以纯粹代 目前 图形学中几何变换 的表达方法不妨视为这 数形式存在． 样一种 “表象”：既采用基于齐次坐标的矩阵表达形 若不 同坐标系下任意几何变换都可 以用矩阵形 式，又在欧氏几何 的Cartesian坐标系下以对其进行 式表达 ，则可以有如下结论 ： 说明性 的定义．由于齐次坐标是射影几何的语 言工 定理 0 如果坐标系 (I)到 (II)的坐标变换为非 具 ，前者表明几何变换 的表达是基于射影几何的 ； 奇异矩阵T，(即对 同一个任意几何点 x，它在 (I) 后者则带有欧 氏几何色彩．因此 ，现有表象仅能算 中坐标为 ()，在 (II)中为 ()，()一T())，则 是经验或半经验的． 在 (I)中的几何变换 A等价于 (II)中的几何变换 A 2004—11-01收稿 ，2005—0323收修改稿 E—mail：zqchenO0@ 126．corn * 现通讯地址 ；3M 中国技术中心 ，上海 200233