《苏教版二分法求方程的近似解》.docVIP

用二分法求方程的近似解[a,b]上连续不断、且f(a)·f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而和到零点近似值的方法． 【例题精析】 例1．借助计算机或计算器，用二分法求函数f(x)= x3-5x2-4x+2的一个零点，精确到0.05． 【分析】先用大范围法寻找零点所在的区间，然后不断使用二分法，逐步缩小区间，直至达到精度的要求． 【解法】 先作出x与f(x)的对应值表，并试图找出一个根所在的区间： x 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 2 -6 -18 -28 -30 -18 14 通过举值，发现函数在(0，1)与(5，6)内都至少有一个零点，现不妨求(0，1)内的一个零点． 令x1=0.5，f(0.5)= -1.125．因为f(0)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0，0.5)． 令x2=0.25，f(0.25)≈0.7．因为f(0.25)·f(0.5)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.5)． 令x3=0.375，f(0.375)≈-0.15．因为f(0.375)·f(0.25)＜0，所以零点x0∈(0.25，0.375)． 令x4=0.3125，f(0.3125)≈0.29．因为f(0.375)·f(0. 3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.375)． 令x5=0.359375，f(0.359375)≈-0.04．因为f(0.359375)·f(0.3125)＜0，所以零点x0∈(0.3125，0.359375)． 由于 |0.359375-0.3125|=0.047＜0.05， 此时区间(0.3125，0.359375)的两个端点精确到0.05的近似值都是0.336，所以函数的一个零点为0.336． 【评注】 ①选好初定区间是使用二分法求近似解的关键．选取初定区间的方法有多种，常用方法有试验估计法，数形结合法，函数单调性法，函数增长速度差异法等等．②本题还有两个零点，你能把它独立求解出来吗？(答案为-1，5.646．) 例2．（师生共同探究）概括用二分法求方程的近似解的基本程序． 【分析】通过对例1的研究，希望能够对解决问题的方法进行提炼，而这一点切不可以由老师包办代替，要通过师生的合作探究解决问题． 【解法】（1）在同一坐标系中分别作出两个简单函数的图象，注意两个图象与x轴的交点坐标； 　　（2）估算出第一个解的区间（x1，x2），（x1＜x2）； 　　（3）计算f（）的值，若f（）＜0，则第二个解区间为（，x2）；若f（）＞0，则第二个解区间为（x1，）；若f（）＝0，则近似解为x＝； 　　（4）重复第（3）步的操作，直至给出的解区间（xi，yi）满足精确度要求为止； （5）写出原方程的近似解． 【评注】利用二分法求方程的实数解的过程亦可以用下图表示． 例3．利用计算器，求方程的近似解（精确到0.1）． 【分析】作一张草图，找好解所在的大致区间． 【解法】分别画出函数和的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程的解，由图象可以发现，方程有唯一解，并且这个解在区间（2，3）内,记为 设 ，用计算器计算，得 f (2)0 , f (3)0 则 f (2.5)0 , f (2.75)0 则 f (2. 5)0 , f (2.625)0 则 f (2. 5625)0 , f (2.625)0 则 因为2．5625与2．625精确到0．1的近似值的为2．6，所以原方程的近似解为． 【评注】由本题进一步熟悉用二分法求方程的近似解f(x)=x2+4x+4在区间[-4,-1]上( )． A、没有零点 B．有无数个零点 C．有两个零点 D．有一个零点 2． 方程lnx+2x=6在区间上的根必定属于区间( ) A．(-2,1) B． C． D． 3． 下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( ) （ ） A． B． C． D． 4． 函数的负数零点的近似值(精确到0.1)是-2.1 B．-0.2 C．-2.2 D．-2.3 5． 求方程的近似解(精确到0.1)近似值(精确到0.1)10km长的线路，如何迅速查出故障所在？ 如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子，10km长，大约有200多根电线杆子呢． 想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 附答案：1． D（提示：函数y＝f (x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点,而函数f(x)=x2+4x+4在区间[-4,-1]上与横轴的交点的横坐标为-2，故它有有一个零点，且为不变号零点．）2．B（提示：根