《苏教版二次函数与一元二次方程》.docVIP

第28课 二次函数与一元二次方程一元二次方程与二次函数二次函数一元二次方程二次函数一元二次方程的图象，观察图象分别指出x取何值时，y=0 ? y0? y0? ⑵ 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）之间有怎样的关系？ 【分析】通过研究本题，让学生理解用二次函数图象讨论二次方程及二次函数的有关问题，并体会借助于图形写出一元二次不等式的解集的方法（因为有很多的问题不可避免的会用到一些解一元二次不等式的知识）并体会由特殊到一般的探究问题的思想方法． 【解法】⑴ (略) ⑵① 当△＝b2－4ac＞0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个交点（x1，0）、（x2，0），（不妨设x1＜x2＝对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个不等实根x1、x2；② 当△＝b2－4ac＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且只有一个交点（x0，0），对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）有两个相等实根x0；③ 当△＝b2－4ac＜0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）没有实根． 【评注】这道习题基本上囊括了本节的内容，让学生自己通过探究得出结论比老师直接给出结论更能够体现新课程的理念． 例2． 已知函数f(x)＝3x＋log2x问：方程f(x)＝0在区间［，1］内没有实数解？为什么？ 【分析】运用解的存在性定理进行判别，只要计算出给定区间的端点函数值即可．本题也为利用二次函数图象讨论二次方程根的情况做一个铺垫． 【解法】 ∵f()＝3＋log2＝－2＜0， 又f(1)=31＋log21＝3＞0， ∵函数f(x)＝3x＋log2x的图象是连续曲线， ∴f(x)在区间［－1,0］内有零点， 即f(x)＝0在区间［－1,0］内有实数解． 【评注】 判断函数在给定区间是否有解，可以运用解的存在性定理进行判别，只要计算出给定区间的端点函数值即可． 例3．⑴关于x的方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，求m的取值范围； ⑵关于x的方程有两实根在内，求m的取值范围； ⑶关于x的方程有两实根在外，求m的取值范围； ⑷关于x的方程有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围； 【分析】按如图所示列出不等式 【解法】令f(x)= ⑴ ∵ 对应抛物线开口向上，∴ 方程有两实根，且一个大于1，一个小于1，等价于f(1)0 , 即 解得 ． ⑵ 据题意 得 ． ⑶ 有图知，原命题等价于 ∴ ． ⑷ 令g(x)= ，据题意 得 可以解得 ． 【评注】讨论一元二次方程根的分布问题的解题的步骤：1．根据条件画出图象；2．根据图象写出字母参数必须满足的条件；3．解不等式． 例4．若对任意实数均成立，求实数的取值范围． 【分析】由于对数形结合这一重要的数学思想的不理解，就可能在解题过程中出现一些错误． 错解展示1：由题意可得： ． 故所求实数的取值范围是． 错解展示2：令，则原不等式可化为：， 由， 故所求实数的取值范围是． 【解法】令，由得． 则题设等价于不等式对一切均成立． 亦即：在上恒取正值． 从而有， 或． 故所求实数的取值范围是． 【评注】 错解1误把原不等式看作是关于的一元二次不等式；而错解2虽通过换元将原不等式化为关于的一元二次不等式，然而却忽略了新变元的变化范围． 【本课练习】 1．函数f(x)=x2+4x+4在区间[-4,-1]上( )． A、没有零点 B．有无数个零点 C．有两个零点 D．有一个零点 2．方程lnx+2x=6在区间上的根必定属于区间( ) A．(-2,1) B． C． D． 3．已知f（x）x－a）（xb）2（ab），并且、是方程f（x）＜），则实数a、b、、的大小关系可能是（　　） 　　　　A．＜a＜b＜　　　　　　　　B．a＜＜＜b 　　　　C．a＜＜b＜　　　　　　　　D．＜a＜＜b 4．不等式（a－2）x2＋2（a－2）x－4＜0对xR恒成立，则a的取值范围是（　　） 　　　　A．（－∞，2）　　　　　　　　　B． 　　　　C．（－2，2）　　　　　　　　　 D．（－∞，2） 5．已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0，aR}，若AB＝A，求a的取值范围． 6．已知函数的图像与轴的交点在原点的右侧，试确定实数的取值范围． 7．二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞b＞c），f（1）＝0，． 　　（1）求证：两函数f（x）、g（x）的图象交于不同两点A、B； 　　（2）求线段AB在x轴上射影长的取值范围． 附答案 1．D（点拨：函数y＝f (x)的图像与