《苏教版平面向量的数量积及运算律2》.docVIP

第十课时 平面向量的数量积及运算律(二) 教学目标： 掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题. 教学重点： 平面向量数量积及运算规律. 教学难点： 平面向量数量积的应用. 教学过程： Ⅰ.复习回顾 上一节，我们一起学习向量数量积的定义，并一起由定义推证了5个重要性质，并得到了三个运算律，首先我们对上述内容作一简要回顾. 这一节，我们通过例题分析使大家进一步熟悉数量积的定义、性质、运算律，并掌握它们的应用. Ⅱ.讲授新课 ［例1］已知：｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b. 分析：由数量积的定义可知，它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积，只要能求出它们的夹角，就可求出a·b. 解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角＝0°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos0°＝3×6×1＝18； 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， ∴a·b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×(－1)＝－18； ②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°， ∴a·b＝0； ③当a与b的夹角是60°时，有 a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝3×6×＝9 评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能. ［例2］已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角. 分析：要求a与b的夹角，只要求出a·b与｜a｜，｜b｜即可. 解：由已知(a＋3b)⊥(7a－5b)(a＋3b)·(7a－5b)＝07a2＋16a·b－15b2＝0 ① 又(a－4b)⊥(7a－2b)(a－4b)·(7a－2b)＝07a2－30a·b＋8b2＝0 ② ①－②得：46a·b＝23b2 即有a·b＝b2＝｜b｜2， 将它代入①可得： 7｜a｜2＋8｜b｜2－15｜b｜2＝0 即｜a｜2＝｜b｜2有｜a｜＝｜b｜ ∴若记a与b的夹角为θ， 则cosθ＝＝＝ 又θ∈［0°，180°］，∴θ＝60° 所以a与b的夹角为60°. ［例3］四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形? 分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量. 解：四边形ABCD是矩形，这是因为： 一方面：∵a＋b＋c＋d＝0， ∴a＋b＝－(c＋d)， ∴(a＋b)2＝(c＋d)2 即｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝｜c｜2＋2c·d＋｜d｜2 由于a·b＝c·d， ∴｜a｜2＋｜b｜2＝｜c｜2＋｜d｜2 ① 同理有｜a｜2＋｜d｜2＝｜c｜2＋｜b｜2 ② 由①②可得｜a｜＝｜c｜，且｜b｜＝｜d｜即四边形ABCD两组对边分别相等. ∴四边形ABCD是平行四边形 另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，而由平行四边形ABCD可得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0 即a·b＝0，∴a⊥b也即AB⊥BC. 综上所述，四边形ABCD是矩形. 评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a＋b＋c＋d＝0，应注意这一隐含条件应用； (2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系. ［例4］已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－3，求｜a＋b｜，｜a－b｜. 解：∵｜a＋b｜2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×(－3)＋52＝23 ∴｜a＋b｜＝，∵(｜a－b｜)2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝22－2×(－3)＋52＝35， ∴｜a－b｜＝. ［例5］已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ. 解：∵(｜a＋b｜)2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝｜a｜2＋2｜a｜｜b｜cosθ＋｜b｜2 ∴162＝82＋2×8×10cosθ＋102， ∴cosθ＝，∴θ≈55° ［例6］在△ABC中，＝a，＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 分析：此题主要考查两向量夹角的概念，应避免由a·b＝｜a｜｜b｜cosB＜0得cosB＜0，进而得B为钝角，从而错选C. 解：由两向量夹角的概念， a与b的夹角应是180°－B ∵a·b＝｜a｜｜b｜cos(180°－B)＝－｜a｜｜b｜cosB＜0 ∴cosB＞0 又因为B∈(0°，180°)所以B为锐角. 又由于角B不一定最大， 故三角形形状无法判