《苏教版高一数学正弦定理余弦定理2》.docVIP

第四课时 正弦定理、余弦定理（二） 教学目标： 熟练掌握正、余弦定理应用，进一步熟悉三角函数公式和三角形中的有关性质，综合运用正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题；通过正、余弦定理在解三角形问题时沟通了三角函数与三角形有关性质的功能，反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化. 教学重点： 正、余弦定理的综合运用. 教学难点： 1.正、余弦定理与三角形性质的结合； 2.三角函数公式变形与正、余弦定理的联系. 教学过程： Ⅰ.复习回顾 上一节课，我们一起研究了正、余弦定理的边角转换功能在证明三角恒等式及判断三角形形状时的应用，这一节，我们将综合正、余弦定理、三角函数公式及三角形有关性质来求解三角形问题.首先，我们一起回顾正、余弦定理的内容. Ⅱ.讲授新课 ［例1］在△ABC中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长. 分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系.其中sin2α利用正弦二倍角展开后出现了cosα，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的. 解：设三角形的三边长分别为x，x＋1，x＋2，其中x∈N*，又设最小角为α，则 ＝，∴cosα＝① 又由余弦定理可得 x2＝（x＋1）2＋（x＋2）2－2（x＋1）（x＋2）cosα ② 将①代入②整理得x2－3x－4＝0 解之得x1＝4，x2＝－1（舍） 所以此三角形三边长为4，5，6. 评述：（1）此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的 方程； （2）在求解过程中，用到了正弦二倍角公式，由此，要向学生强调三角公式的工具性作用，以引起学生对三角公式的重视. ［例2］如图，在△ABC中，AB＝4 cm，AC＝3 cm，角平分线AD＝2 cm，求此三角形面积. 分析：由于题设条件中已知两边长，故而联想面积公式S△ABC＝AB·AC·sinA，需求出sinA，而△ABC面积可以转化为S△ADC＋S△ADB，而S△ADC＝AC·ADsin，S△ADB＝AB·AD·sin，因此通过S△ABC＝S△ADC＋S△ADB建立关于含有sinA，sin的方程，而sinA＝2sincos，sin2＋cos2＝1，故sinA可求，从而三角形面积可求. 解：在△ABC中，S△ABC＝S△ADB＋S△ADC， ∴AB·ACsinA＝·AC·AD·sin＋·AB·ADsin ∴·4·3sinA＝·3·2sin∴6sinA＝7sin ∴12sincos＝7sin ∵sin≠0，∴cos＝又0＜A＜π，∴0＜＜ ∴sin＝， ∴sinA＝2sincos＝， ∴S△ABC＝·4·3sinA＝（cm2）.评述：面积等式的建立是求sinA的突破口，而sinA的求解则离不开对三角公式的熟悉.由此启发学生在重视三角形性质运用的同时，要熟练应用三角函数的公式.另外，在应用同角的平方关系sin2α＋cos2α＝1时，应对角所在范围讨论后再进行正负的取舍. ［例3］已知三角形的一个角为60°，面积为10cm2，周长为20 cm，求此三角形的各边长. 分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式S△ABC＝absinC表示面积，其三是周长条件应用. 解：设三角形的三边长分别为a、b、c，B＝60°，则依题意得 ∴ 由①式得b2＝［20－（a＋c）］2＝400＋a2＋c2＋2ac－40（a＋c） ④ 将②代入④得400＋3ac－40（a＋c）＝0 再将③代入得a＋c＝13 由，解得或 ∴b1＝7，b2＝7 所以，此三角形三边长分别为5 cm，7 cm，8 cm. 评述：（1）在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用； （2）由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力. ［例4］在△ABC中，AB＝5，AC＝3，D为BC中点，且AD＝4，求BC边长. 分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC为x后，建立关于x的方程.而正弦定理涉及到两个角，故不可用.此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用.因为D为BC中点，所以BD、DC可表示为，然后利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程. 解：设BC边为x，则由D为BC中点，可得BD＝DC＝， 在△ADB中，cosADB＝ 在△ADC中，cosADC＝ 又∠ADB＋∠ADC＝180° ∴cosADB＝cos（180°－∠ADC）＝－c