《苏教版高一数学等差数列1》.docVIP

第三课时 等差数列(一) 教学目标： 明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，会解决知道an,a1,d,n中的三个，求另外一个的问题；培养学生观察能力，进一步提高学生推理、归纳能力，培养学生的应用意识. 教学重点： 1.等差数列的概念的理解与掌握. 2.等差数列的通项公式的推导及应用. 教学难点： 等差数列“等差”特点的理解、把握和应用. 教学过程： Ⅰ.复习回顾 上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式.这两个公式从不同的角度反映数列的特点，下面我们看这样一些例子 Ⅱ.讲授新课 1，2，3，4，5，6； ① 10，8，6，4，2，…； ② 21，21，22，22，23，23，24，24，25 ③ 2，2，2，2，2，… ④ 首先，请同学们仔细观察这些数列有什么共同的特点?是否可以写出这些数列的通项公式？（引导学生积极思考，努力寻求各数列通项公式，并找出其共同特点） 数列①是一递增数列，后一项总比前一项多1，其通项公式为：an＝n(1≤n≤6). 数列②是由一些偶数组成的数列，是一递减数列，后一项总比前一项少2，其通项公式为：an＝12－2n(n≥1). 数列③是一递增数列，后一项总比前一项多，其通项公式为：an＝20＋n（1≤n≤9) 数列④的通项公式为：an＝2(n≥1)是一常数数列. 综合上述所说，它们的共同特点是什么呢？ 它们的共同特点是：从第2项起，每一项与它的前一项的“差”都等于同一个常数. 也就是说，这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点.具有这种特点的数列，我们把它叫做等差数列. 1.定义 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 如：上述4个数列都是等差数列，它们的公差依次是1，－2，，0. 2.等差数列的通项公式 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得.若一等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则据其定义可得： (n－1)个等式 若将这n－1个等式左右两边分别相加，则可得：an－a1＝(n－1)d 即：an＝a1＋(n－1)d 当n＝1时，等式两边均为a1，即上述等式均成立，则对于一切n∈N*时上述公式都成立，所以它可作为数列{an}的通项公式. 或者由定义可得：a2－a1＝d即：a2＝a1＋d；a3－a2＝d即：a3＝a2＋d＝a1＋2d；a4－a3＝d即：a4＝a3＋d＝a1＋3d；……；an－an－1＝d，即：an＝an－1＋d＝a1＋(n－1)d 看来，若已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项. 如数列①：an＝1＋(n－1)×1＝n(1≤n≤6), 数列②：an＝10＋(n－1)×(－2)＝12－2n(n≥1), 数列③：an＝22＋(n－1) ＝21n (n≥1), 数列④：an＝2＋(n－1)×0＝2(n≥1) 由通项公式可类推得：am＝a1＋(m－1)d，即：a1＝am－(m－1)d，则： an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1)d＋(n－1)d＝am＋(n－＝a4＋d＝a3＋2d＝a2＋3d＝a1＋4d8＋ 令－401＝－4n－1，解之得n＝100. ∴－401是这个数列的第100项. ［例2］在等差数列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，求首项a1与公差d. 解：由题意可知， 这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a1＝－2，d＝3. 即这个等差数列的首项是－2，公差是3. ［例3］在等差数列{an}中，已知a5＝10，a15＝25，求a25. 思路一：根据等差数列的已知两项，可求出a1和d，然后可得出该数列的通项公式，便可求出a25. 解法一：设数列{an}的首项为a1,公差为d,则根据题意可得： 这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解这个方程组，得a1＝4，d＝. ∴这个数列的通项公式为：an＝4＋×(n－1)，即：an＝n＋. ∴a25＝×25＋＝40. ＝am＋(n－m)d.这样可简化运算. 解法二：由题意可知：a15＝a5＋10d，即25＝10＋10d, ∴10d＝15. 又∵a25＝a15＋10d，∴a25＝25＋15＝4差数列{an}中，a5，a15，a25成等差数列 ∴2a15＝a5＋a25，即a25＝2a15－a5, ∴a25＝2×25－10＝ 得： 由217＝－23＋a15＋(n－15)d，217＝33＋＝，解得n＝61. 评述：运用等差数列的通项公式，知三求一.如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.如果利用等差数列的性质，几何意义去考虑也可以，因此要根据具