复变函数与积分变换 -张翠莲 第1章 复数与复变函数.ppt

第1章 复数与复变函数 1.1 复数 1.1.1 复数的概念 设 ， 为两个任意实数，称形如 的数为复数，记为 ，其中 满足 ，称为虚数单位.实数 和 分别称为复数 的实部和虚部，记为 ， . 各数集之间的关系可表示为 1.1.2 复数的代数运算 设复数 ， ，定义 与 的四则运算如下： 加法： 减法： 乘法： 除法： 复数四则运算规律： （1）加法交换律 （2）乘法交换律 （3）加法结合律 （4）乘法结合律 （5）乘法对于加法的分配律 复数运算的其它结果： （1） （2） （3）若 ，则 与 至少有一个为零，反之亦然. 共轭复数的运算性质： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 为实数. 例1 化简 . 解 例2 设 ，求 及 . 解 所以 1.1.3 复数的各种表示、模与辐角 1.复数的几何表示 由复数 的定义可知，复数是由一对有序实数 惟一确定的，于是可建立全体复数和 平面上的全部点之间的一一对应关系，即可以用横坐标为 ，纵坐标为 的点 表示复数 （如图1.1），这是一种几何表示法，通常称为点表示，并将点 与数 看作同义词. 2.复数的向量表示 复数 还可以用起点为原点，终点为 的向量 来表示（如图1.1）， 与 分别是 在 轴与 轴上的投影.这样，复数与平面上的向量之间也建立了一一对应关系. 3.复数的模与辐角 复数的模 如图1.1中的向量 的长度称为复数 的模，记作 或 ，即 复数的辐角 设复数 对应的向量为 （如图1.1）, 与实轴正方向所夹的角 ，称为复数 的辐角,记作 ，即 并规定 按逆时针方向取值为正，顺时针方向取值为负. 4.复数的三角表示式 称 为复数 的三角表示式. 5.复数的指数表示式 称 为复数 的指数表示式. 例3 求 和 . 解 例4 求 的三角表示式与指数表示式. 解 因为 , 所以 设 则 又因为 位于第II象限， 所以 , 于是 1.1.4. 复数的幂与根 1. 复数的乘幂 设 为正整数， 个非零相同复数 的乘积，称为 的 次幂，记为 ，即 若 ，则有 当 时，得到著名的棣莫弗 （De Moivre）公式 例7 求 . 解 因为 所以 例8 已知 ， 求 . 解 因为 2.复数的方根 称满足方程 的复数 为 的 次方根，记作 或记作 . 例1 解方程 . 解 因为 所以 例2 计算 解 因为 所以 即 第1章 复数与复变函数 1.2 区域 1.2.1. 复平面上的点集与区域 扩充复平面 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 有限复平面 不包括无穷远点的复平面称为有限复平面，或复平