复变函数与积分变换 -张翠莲 第6章 傅立叶变换.ppt

第6章 傅立叶变换 6.1 傅立叶积分 6.2 傅立叶变换 6.3 函数及其傅立叶变换 6.4 傅立叶变换的性质 6.1 傅立叶积分 6.1.1主值意义下的广义积分 定义1 设函数 在实轴的任何有限区间上都 可积.若极限 存在,则称在主值 意义下 在区间 上的广义积分收敛, 记为 例1 计算 为实常数） 解 我们可以证明 为实数) 令 则 例2 设 计算积分 解 6.1.2 傅氏积分存在定理 6.2 傅立叶变换 例3 求函数 的傅氏变换  例4 求函数 的傅氏变换和傅氏积分表达式. 解 6.2.2 傅氏变换的物理意义—频谱 6.3 －函数及其傅立叶变换 6.3.1 函数的定义 （1）看作矩形脉冲的极限 （2） 函数的数学定义 （3）物理学家狄拉克给出的定义 满足下列两个条件的函数称为 函数： Ⅰ　 Ⅱ　 6.3.2 函数的性质 6.3.3 函数的傅立叶变换 6.3.4 一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对 6.4 傅立叶变换的性质 6.4.2 对称性质 6.4.4 平移性质（1）象原函数的平移性质 （2）象函数的平移性质 6.4.5 微分性质（1）象原函数的微分性质 （2）象函数的微分性质 6.4.6 积分性质 6.4.7 傅氏变换的卷积与卷积定理 若 =? 则 ? 或 ? 例11 已知 ? 求 ? 解 ? 若 =? ? 则 在这里 必须满足傅氏积分存在定理的条件, 若不满足,则这个广义积分应改为 ? 1． 上的卷积定义 若给定两个函数 ,则积分 称为函数 的卷积,记为 * * 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 上式(1)称为函数 的复指数形式的傅里叶积分公式,而等号右端的积分式称为 的傅里叶积分(简称傅氏积分). 从例2可以看出,函数 存在如下关系 若函数 在任何有限区间上满足狄氏条件（即函数在任何有限区间上满足：(1）连续或只有有限个第一类间断点(2)至多有有限个极值点）,并且在 上绝对可积则有： 为连续点 为间断点 也叫做 的傅氏积分表达式 6.2.1 傅立叶变换的概念 叫做 的傅氏变换,象函数,可记做 =? [ ] 叫做 的傅氏逆变换,象原函数, =? 解 若 上式右端为 于是 称为 的频谱函数 其模 称为 的振幅频谱 可以证明,频谱为偶函数,即 在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有连续分布的物理量外,还会有集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决. 1 函数用一个长度等于1的有向线段来表示,如下图 o 1 如下图 o 定义为满足下列条件的函数 （1）对任意的连续函数 ,都有 （2） 函数为偶函数,即 （3） 其中, 称为单位阶跃函数. 反之,有 . 由于 =? 可见, ? [ ]=1, ? -1[1]=