复变函数与积分变换 -张翠莲 第7章 拉普拉斯变换.ppt

第7章 拉普拉斯变换 7.1 拉普拉斯变换 7.2 拉普拉斯变换的基本性质 7.3 拉普拉斯逆变换 7.4 拉普拉斯变换的应用 7.1 拉普拉斯变换 7.1.1拉普拉斯变换的概念 定义1 设函数 当 有定义,而且积分 7.1.2 拉普拉斯变换存在定理 7.1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换 7.1.4 周期函数的拉普拉斯变换 7.2 拉普拉斯变换的性质 7.2.2 相似性质 7.2.3平移性质（1）象原函数的平移性质 （2）象函数的平移性质 7.2.4 微分性质（1）象原函数的微分性质 （2）象函数的微分性质 7.2.5 积分性质 7.2.7 拉氏变换的卷积与卷积定理 7.3 拉普拉斯逆变换 求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等. 我们简单介绍留数法和查表法. 2.3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换 拉氏逆变换的性质 2.3.2 利用留数定理求拉氏逆变换 7.4 拉普拉斯变换的应用 2.4.2 线性系统的传递函数 7.4.1常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法 利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系 数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基本步骤如下: （1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程; （2）从象函数的代数方程中解出象函数; （3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解. * * 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 在 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为 是一个复参量） 我们称上式为函数 的拉普拉斯变换式 ,记做 ? 叫做 的拉氏变换,象函数. 叫做 的拉氏逆变换,象原函数, = ? 的增长速度不超过某一指数函数,亦即存在常数 若函数 满足下列条件 Ⅰ 在 的任一有限区间上连续或分段连续, 时, Ⅱ 当 时, 及 ,使得 成立,则函数 的拉氏变换 在半平面 上一定存在.此时右端的积分绝对收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 为解析函数 例2 求单位阶跃函数 的拉氏变换  解 ? 例1 求单位脉冲函数 的拉氏变换  解 ? 例3 求函数 的拉氏变换  解 ? 例4 求单位斜坡函数 的拉氏变换  解 ? 例5 求幂函数 的拉氏变换  解 ? 当 为正整数时, ? 例6 求正弦函数 的拉氏变换  ? 解 则 所以 ? 即 同理可得 如 ? ? 是周期为 当 在一个周期上连续或分段连续时,则有 这是求周期函数拉氏变换公式 的周期函数,即 可以证明:若 ? 7.2.1 线性性质 设 为常数则 ? ? ? ? 若 = ? 则 ? ? 为非负实常数,则 ? ? ? 例7 求函数 的拉氏变换 解 因为 ? 所以 ? 若 为实常数,则 ? ? 若 ( 为正整数). 例8 求 解 因为 ? ? ? ? 所以 ? ? 则 一般地, ? ? 若 ? 特别地,当 时, ? 可以证明 ? 若 则 ? 从而 ? ? ? ? 例9 求函数 解 因为 同理,? ? ? 所以,? 若 ? 则 ? ? （1）象原函数的积分性质 一般地 ? 且积分 收敛 若 ? 则 ? ? （2）象函数的积分性质 一般地 ? 或 推论 若 则 ? 且积分 收敛 例10 求? 解 因为 ? 所以 ? ? 顺便可得 (1) 上的卷积定义 若函数 满足, 时都为零, 称为函数 在 上的卷积. 则可以证明卷积 例11对函数 计算 上的卷积 解 (2)拉氏变换的卷积定理 若 则 ? ? ? ? 例12 已知 为正整数) 求在 上的卷积 解 因为 ? ? ? 所以 ? 根据拉普拉斯变换的定义