建筑力学 作者 沈养中 第九章 超静定结构的内力.ppt

2. 偶数跨对称刚架 (1) 对称荷载作用的情况 图所示的两跨对称刚架，在对称荷载作用下，其内力和变形都是对称的。 由于CD杆位于对称轴上，故无剪力和弯矩只有轴力。从变形对称的角度来分析，C截面上的转角和水平位移为零，又由于C截面上还有一竖杆，当不考虑杆件的轴向变形时，C截面也不能产生竖向位移，相当于一个固定端支座。因此，得到如图（b）所示的半刚架。 （b） （a） （2）反对称荷载作用的情况 图（a）所示的两跨对称刚架，在承受反对称荷载作用时，其内力和变形应为反对称的。取半刚架时，可把其看作是如图（b）所示的中间的立柱由两根截面惯性矩为I/2的杆件组成的结构。 （a） （b） 由于荷载是反对称的，故C截面上只有反对称的一对剪力FSC［图（c）］。当忽略杆件的轴向变形时，这一对剪力FSC对其它杆件均不产生内力，而仅在对称轴两侧的两根立柱中产生大小相等而性质相反的轴力，由于原有中间柱的内力是这两根立柱的内力之和，故叠加后剪力FSC对原结构的内力和变形均无影响, 可将其略去。于是，得到如图（d）所示的半刚架。 综上所述，由于对称结构可以采用半结构计算，所以，在用位移法计算对称的超静定结构时，可以利用对称性使计算得到简化。 （c） （d） 需要说明的是，在取半结构简化计算时，作用在对称结构上的荷载必须是对称荷载或反对称荷载，如荷载是非对称荷载，则必须分解为对称荷载和反对称荷载两种情形，分别采用半结构计算，然后将计算结果叠加。 当按上述方法绘出半结构的内力图后，另一半结构的内力图则可根据对称关糸绘出。在对称荷载作用下，对称结构的弯矩图、轴力图是对称的，剪力图是反对称的；在反对称荷载作用下，对称结构的弯矩图，轴力图是反对称的，剪力图是对称的。 【例9.12】试用位移法计算图示刚架，并绘制弯矩图。已知各杆EI为常数。 【解】 1）对称性分析。 此刚架为对称结构，受对称荷载作用。根据其受力和变形特点可取如图(b)所示半刚架进行计算。 （a）原结构 （b）半刚架 2）确定基本未知量，形成基本结构。 图(b)所示的半刚架有一个刚结点E，没有结点线位移。因此，基本未知量为结点E处的转角Z1。在刚结点E施加限制结点转动的附加约束，得到基本结构如图(c)所示。 （c）基本结构 3）列出位移法方程。 根据结点E处附加约束上的总约束力为零的条件，建立位移法方程 r11Z1+R1F=0 4）求系数自由项。 分别绘制基本结构在单位角位移Z1=1和荷载单独作用下的弯矩图 图和MF图，如图(d，e)所示。 （c）基本结构 在图(d，e)中分别取刚结点为隔离体，利用结点的平衡条件，可得 r11=8i ， 5）解方程求未知量。 将系数和自由项代入位移法方程，得 解得 6）绘弯矩图。 由叠加公式 绘出图(b)所示半刚架的M图，然后利用对称性绘出原结构的M图，如图(f)所示。 (f ) M 图 (f) M 图 7）校核。 在图 (f )中取结点E为隔离体，验算其是否满足平衡条件∑ME=0。 显然计算无误。 综合以上分析可知，力法和位移法是计算超静定结构的两种基本方法，均适用于各种超静定结构。从便于计算的角度来看，力法适合于刚结点数多和独立结点线位移数多而超静定次数较少的结构计算；位移法适合于超静定次数多而结点位移数少的结构计算。 9.4力矩分配法 前面介绍的力法和位移法是计算超静定结构的两种基本方法。它们都要建立和求解联立方程，当基本未知量较多时，手算工作十分繁重。力矩分配法是建立在位移法基础上的一种渐近解法，它的特点是不需建立和解算联立方程，可直接算得杆端弯矩，适用于连续梁和无结点线位移刚架的内力计算。 F 【解】 1)确定基本未知量，形成基本结构。 此超静定梁有一个刚结点B，无结点线位移。因此，基本未知量为结点B处的转角Z1，基本结构如图(b)所示。 (b)基本结构 (a)原结构 z1 F 2) 建立位移法方程。 由结点B处附加刚臂的约束力矩总和为零的条件，建立位移法方程为 r11Z1+R1F=0 F (b)基本结构 z1 3) 求系数和自由项。 令 ，绘出Z1=1和荷载单独作用于基本结构上时的弯矩图 图和MF图，如图(c，d)所示。 B