高中数学 4.4.4 平摆线与圆的渐开线学案 苏教版选修4-2.pptVIP

* 平摆线与圆的渐开线 1、摆线的定义 思考：P51 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？ 同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。 我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上一个定点的轨迹是什么？ O A B M 摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。 x y O D A E B M C 2、摆线的参数方程 O A B M 根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。 设圆的半径为r 所以，摆线的参数方程为： x y O D A E B M C 3、摆线的参数方程 O A B M 摆线的参数方程为： 思考： 在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？ 一个拱的宽度与高度各是什么？ 说明 摆线是研究一个动圆在一条曲线（基线）上滚动时，动圆上一点的轨迹。 当基线是直线时，就得到平摆线或变幅平摆线。 当基线是圆且动圆在定圆内滚动时，就得到内摆线或变幅内摆线。 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时，若两圆外切，就得到外摆线或变幅外摆线。 4、渐开线的定义 探究： 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？ 动点（笔尖）满足什么几何条件？ A B M O 我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。 A B M O x y 5、渐开线的参数方程 以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面 直角坐标系。 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。 显然，点M由角 唯一确定。 这就是圆的渐开线的参数方程。 6、渐开线的参数方程 A B M O x y 渐开线的应用： 由于渐开线齿形的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，因此大多数齿轮采用这种齿形。 设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。 直齿 平行轴齿轮传动机构（圆柱齿轮传动机构） 斜齿 齿轮齿条 内齿轮 交错轴齿轮传动机构 斜齿 蜗杆蜗轮 曲齿 人字齿 直齿 相交轴齿轮传动机构（圆锥齿轮传动机构） 斜齿 曲线齿 准双曲面齿轮 小结： 1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程 *