高中数学 《平面向量复习课》教案 北师大版必修4.docVIP

第二章 平面向量复习课 [第一部分：知识归纳] 1.知识结构 2.重要公式、定理 ①.平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2. ②. 向量共线的两种判定方法：∥() ③. a = (x, y) ( |a|2 = x2 + y2 ( |a| = ④.若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则= ⑤.cos( = ⑥.a(b ( a?b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示） 3.学习本章应注意的问题及高考展望 ①.在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系，注意用向量的语言和方法来表述和解决物理问题。 ②.向量是数形结合的载体，在本章的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题.同时向量的坐标表示为我们用代数方法研究几何问题提供了可能，丰富了我们研究问题的范围和手段。 ③.以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质，这类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题。 ④.以解答题出现的题目，一般结合其它数学知识，综合性较强，难度大，以解决几何问题为主.在学习本章时应立足于课本，掌握双基，精读课本是关键. [第二部分：应用举例] 例1.如图△ABC中，= c，= a，= b，则下列推导 不正确的是……………（ ） A．若a?b 0，则△ABC为钝角三角形。 B．若a?b = 0，则△ABC为直角三角形。 C．若a?b = b(c，则△ABC为等腰三角形。 D．若c? (a + b + c) = 0，则△ABC为正三角形。 解：A．a?b = |a||b|cos( 0，则cos( 0，(为钝角 B．显然成立 C．由题设：|a|cosC = |c|cosA，即a、c在b上的投影相等 D．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC为正三角形 例2.设非零向量a、b、c、d，满足d = (a?c) b ( (a?b)c，求证：a(d 证：内积a?c与a?b均为实数， ∴a?d = a? [(a?c) b ( (a?b)c] = a? [(a?c) b] ( a? [(a?b)c] = (a?b)(a?c) ( (a?c)(a?b) = 0 ∴a(d 例3.已知|a| = 3，b = (1,2)，且a∥b，求a的坐标。 解：设a = (x,y) ∵|a| = 3 ∴…① 又：∵a∥b ∴1?y ( 2?x = 0 …② 解之： 或 即：a = () 或a = () 例4.已知a、b都是非零向量， a + 3b与7a ( 5b垂直，且a ( 4b与7a ( 2b垂直，求a与b的夹角。 解：由(a + 3b)(7a ( 5b) = 0 ( 7a2 + 16a?b (15b2 = 0 ① (a ( 4b)(7a ( 2b) = 0 ( 7a2 ( 30a?b + 8b2 = 0 ② 两式相减：2a(b = b2 代入①或②得：a2 = b2 设a、b的夹角为(，则cos( = ∴( = 60( 例5.已知：|a| =，|b| = 3，a与b夹角为45(，求使a+b与a+b夹角为锐角的的取值范围。 解：由题设：a?b = |a||b|cos( = 3××= 3 (a+b)((a+b) =|a|2 +|b|2 + (2 + 1)a?b = 32 + 11 + 3 ∵夹角为锐角 ∴必得32 + 11 + 3 0 ∴ 或 例6.a、b为非零向量，当a + tb(t(R)的模取最小值时，①求t的值；②求证：b与a + tb垂直 解：① |a + tb|2 = |a|2 + t2|b|2 + 2t|a||b| ∴当t =时, |a + tb|最小 ② ∵b? (a + tb) = a?b ( = 0 ∴b与a + tb垂直 例7.证明：三角形重心与顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。 证：设= b，= a，则=+= b+a, =a +b ∵A, G, D共线，B, G, E共线 ∴可设=λ，= μ, 则=λ=λ(b+a)=λb+λa, = μ= μ(b+a)=μb+μa, ∵ 即：b + (μb+μa) =