信号与系统 工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目 作者 刘百芬 张利华 信号与系统chapter 4.pptVIP

已知一个零状态LTI系统的微分方程为 试求该系统的频率响应。 解： 对微分方程两边取傅里叶变换，可得： 则，系统的频率响应为： 非周期信号激励下的系统响应 要求系统的零状态响应，可采用频域分析的方法 ，其步骤如： （1）计算输入信号的频谱 ; （2）确定系统频域响应 ; （3）计算零状态响应的傅里叶变换 ; （4）求 的傅里叶反变换得到 。 已知某线性系统的微分方程为 系统的输入激励 ，求系统的零状态响应。 解： 由于输入激励 的频谱函数为： 将微分方程两边求傅里叶变换，可得系统频域响应为： 故系统的零状态响应的频谱函数为： 由傅里叶反变换可得系统的零状态响应为： 周期信号激励下的系统响应 在频域中求解周期信号激励下的系统响应有二种方法，周期信号 的分解和周期信号 的分解。 §周期信号 的分解 由于周期信号的傅里叶变换为： 另外周期信号的傅里叶变换也可写为： 由上两式可求得在频域中周期信号 激励下的系统响应为： 将上式求傅里叶反变换，可得到零状态响应为： 由上两式可求得在频域中周期信号 激励下的系统响应为： 由于傅里叶变换的频域特性，余弦信号常用于通信系统的调制中，下面讨论余弦信号激励时的系统响应。 设输入信号为余弦信号，即： 其傅里叶变换为： 已知系统的频域系统函数为： 则可得系统响应的频域为： 对上式求取傅里叶反变换可得： 同理，可推导出正弦信号 ，作用于连续时间LTI系统的零状态响应为： 进一步，可推导出虚指数信号 作用于连续时间LTI系统的零状态响应为： 已知某LTI系统的频率响应为 ，求激励为 时系统的零状态响应。 解： 由于正弦、余弦信号激励系统的响应依然为同频率的正弦、余弦信号，但幅度和相位受到 和 的加权 。 所以由题意可得： （1）对于 ，其 ，则 （2）对于 ，其 ，则 （3）对于 ，其 ，则 （4）对于 ，其 ，则 所以系统零状态响应为： 周期信号可表示为傅里叶级数的复指数形式，即： 当输入信号为 时，零状态响应为： 这种方法的原理框图如下图所示： §周期信号 的分解 证明: 由时移性可知上式方括号里的积分为 ，所以： 上式表明，两个信号在时域中的卷积的傅里叶变换等于此两信号傅里叶变换的乘积。 §时域卷积特性 对于信号 ，若 ，则： 求下图所示的三角脉冲的频谱函数。 解: 三角脉冲 可看成两个矩形脉冲信号的卷积如下图所示： 即 而 根据时域卷积定理，其频谱函数等于两个矩形脉冲信号频谱函数的乘积，即抽样函数的平方，即： 频谱图如下所示： 证明: 上式表明，两个信号在时域中的乘积的傅里叶变换等于此两信号傅里叶变换卷积的 倍。 §频域卷积特性 对于信号 ，若 ，则： 已知信号 的频谱 ，如下图（a）所示,另有一信号 的频谱为 ，如下图（b）所示,试求这两个信号相乘即 的频谱。 图(a) 图(b) 解: 由 和频域卷积特性，可得： 频谱图： 证明：由傅里叶反变换可得： 对上式两边 微分并交换微积分次序可得： 即 将上式进一步推广有： §时域微分特性 对于信号 ，若 ，则： 试利用微分特性求矩形脉冲信号 的频谱函数。 对上式两边取傅里叶变换并利用时移特性得： 解: 首先对矩形脉冲信号求导，有： 由上式利用时域微分特性，得： 因此有： 上式两边取傅里叶变换，并利用卷积特性，得： §时域积分特性 对于信号 ，若 ，则： 证明：由于 求下图所示信号 的频谱 。 解： 设 一、二阶导数分别为 和 ，则： 由于 根据时域积分性质，得： 证明：由傅里叶变换的定义，可得： 上式两边对 求导，得： 进一步推广，可得： §频域微分特性 对于信号 ，若 ，则： 试求单位斜坡信号 的傅里叶变换。 解： 由于已知单位阶跃信号 的傅里叶变换为： 利用频域微分特性，可得： 证明 因为： 由频域卷积特性，可得： 而 根据互易对称性，可得： §频域