线性代数第3版 作者 陈建华 23逆矩阵.ppt

* * 我们对矩阵定义了加减、数乘、乘法、方阵的乘方与多项式、转置等运算. 矩阵无除法运算! 但“除”从“乘”来： 那么,AX＝B可否类此,两边同乘以一矩阵得: 引入新概念——逆矩阵 3x＝5 ·3x＝ ·5 x＝… AX＝B × X＝… 1 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 2.3 逆矩阵 一、逆矩阵的概念 1.定义:设An×n ,若AB＝BA＝E,称B是A的逆矩阵, 记B＝A-1 ,并称A可逆. (2)B是A的逆矩阵 A、B互为逆矩阵. 例： [注] A-1不可写作 ，∵一般A-1B≠BA-1， 而将A-1记作 ，二者均为 了！ (1) 由A、B可交换知: A、B为同阶方阵. 第三章 矩阵 2. 性质： 1) A可逆 A-1唯一； 2) (A-1)-1＝ 3) (kA)-1＝ 4) (AB)-1＝ 5) (AT)-1= (A-1)T; 6) 证:1)设B、C均是A的逆,则 B＝ BE＝ B(AC)＝ (BA)C＝EC 5) ,同理, 6) 由此亦可见，A可逆 [注]A,B均可逆,A+B未必可逆,即使A+B可逆,一般 (A＋B)－1≠A－1＋B－1. 例： AB＝BA＝E＝AC＝CA 故 ＝C A； (k≠0); B-1A-1; AT (A-1)T ＝ (A-1A)T ＝ET ＝E (A-1)TAT＝E AA-1＝E 二、矩阵可逆的充分必要条件 1.定义：若 ,则称A为非奇异的. 2.定理：An×n可逆 A非奇异 证: (将逆矩阵拿出来!) 性质6)已证; 设 行列式按行展开定理及推论! Aij是 中元素aij的代数余子式 同理可证 BA=E (行列式按列展开定理及推论!) ∴ B＝A－1 3.定义:称 为A的伴随矩阵. (注意①转置;②符号) [注]①上定理记为:An×n可逆 ,且 ②重要结论: 4.推论:An×nBn×n=E A,B可逆,且A－1=B, B－1=A 证: 由矩阵可逆充要条件,A、B可逆. 由AB＝E两边左乘A－1得： 两边右乘B－1得： [注]证B是An×n的逆阵,只要证一个等式:AB(或BA)=E B=A－1 A=B－1 第三章 矩阵 例2(02考研):设 ,B=A2－3A+2E，求B－1 例1 n阶方阵A满足A2－3A－10E=O，证明A、 A－4E可逆并求其逆. 解:由A2－3A－10E＝O得: 又由已知 A(A－3E)=10E (A－4E)(A ＋E)＝ 6E 例3 判断 是否可逆，若可逆，求其逆. 解: =6＋6＋24－18－12－4＝2≠0 ∴A可逆 第三章 矩阵 k 例4 则: A－1 ＝ 例5 设A为n阶方阵, 且 , 则 ＝ an－1 三、应用 1.解矩阵方程 例6 求X,使AXB=C. 解：由例3,A可逆, ，故B可逆. AX＝B, A可逆 X＝A－1B XA＝B, A可逆 X＝BA－1 AXB＝C, A、B可逆 X＝A－1CB－1 2.用逆阵解线性方程组 例7 记 即AX＝B ∴A可逆 即： (方程个数＝未知数个数;系数矩阵 可逆，即系数行列式的值不为0 —与克莱姆法则条件相同) x1 +2x3 ＝1 －x1＋2x2－3x3＝0 x2－x3 ＝1 X＝A－1B 3.求逆变换 解：将变换记为：Y=AX (A同例3) 则 即: 亦即: 将x1, x2, x3用y1, y2, y3表示出来! y1＝x1＋2x2＋3x3 y2＝2x1＋2x2＋x3 y3＝3x1＋4x2＋3x3 例8 求变换 的逆变换. X＝A－1Y 四、分块矩阵的逆矩阵 1. A可逆 (易验证) 2. A1,A2…,As可逆,且 第三章 矩阵 3.A、B均可逆时, 设 A,B可逆 M可逆 由 得: AX＋CZ ＝E AY＋CW＝O BZ＝O BW＝E Z ＝O W＝B－1 X＝A－1 Y＝－A－1CB－1 [注]AB＝O且A可逆 B＝O AB＝O A＝O或B＝O 设 AX＝E AY＝－CB－1 例9. 求下列矩阵 的逆矩阵： ＝1 -3 3 -5 2 ＝-1 -1 -3 1 4 例10(05考研):设A,B,C 均为n阶矩阵, 若B＝E＋AB,