线性代数第3版 作者 陈建华 25矩阵的秩.ppt

* * 第三章 矩阵 复 习 矩阵的初等行、列变换；矩阵等价；初等矩阵 定理1 有限次 初等变换 A=(aij)m×n (A≌标准形D) 初等矩阵的逆矩阵仍为初等矩阵 定理2 对A作初等行(列)变换,相当于用相应的初等矩阵左(右)乘A. 推论 对任一矩阵A,存在可逆阵P,Q,使PAQ= A≌B 可逆阵P,Q,使PAQ＝B. 定理3 n阶可逆矩阵A的等价标准形D=En 定理4 A可逆 A可表示为一些初等矩阵的乘积 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： (A E ) (E A-1) 行 变换 A E 列 变换 E A-1 (A B) (E A-1B) 行 变换 A B 列 变换 E BA-1 若用一系列初等行变换将A化为单位矩阵E, 则对E施以同样的行变换即得A-1 A-1=P1P2…PkE E = P1P2…PkA 若用一系列初等行变换将A化为单位矩阵E, 则对B施以同样的行变换即得A-1B A-1B=P1P2…PkB E = P1P2…PkA A-1＝P1P2…Pk 第二章 矩阵 任选Am×n的k行k列所得k阶行列式 (k≤min(m,n)) 例 有二阶子式 三阶子式 若矩阵A中至少有一个r阶子式不为零, 而所有的r＋1阶子式皆为零, 则称r为矩阵A的秩,记为r(A)＝r. 即：矩阵A的秩等于A中不为零的子式的最高阶数. 2.6 矩阵的秩 一、矩阵秩的定义 1. k阶子式: 2.矩阵的秩 (1)定义 所有高于r＋1阶的子式必为零! 上例：r(A)＝ 2 ① 0≤r(Am×n)≤min{m, n} ② r(A)= r(AT)， r(kA)= r(A) (k≠0) (2)性质： ③ A存在r阶子式不为0 r(A)≥r A的所有r+1阶子式都为0 r(A)≤r ④ An×n可逆 r(A)＝ n 二、用初等变换 定理 矩阵经过初等变换，其秩不变. r(A)=m, 称A为行满秩矩阵; 规定：r(O)＝0 r(A)=n, 称A为列满秩矩阵. 统称为满秩矩阵 求矩阵的秩 (证明:P66) ——用定义，繁! 行变换 列变换 等价标准形，则r(A)＝ 初等行变换 行阶梯形,则r(A)= 行阶梯形矩阵非零行的行数 r r行 行阶梯形矩阵：自上而下各行中，第一个非零元左边零的个数逐行增加；零行在最下面. 例: 简化行阶梯形矩阵：行阶梯形矩阵，非零行的第一个非零元均为1，其所在列的其它元素均为0. 1 1 0 0 0 例1 求下列矩阵的秩 解 ∴r(A)＝3 (1) (2) ∴r(B)＝2 (2) (1) 例2(01考研)设矩阵 , 且秩(A)＝3, －3 则k＝ ＝(k＋3)(k－1)3 ＝0 ∵ k＝1时， r(A)＝1 ∴k＝－3 解 第二章 矩阵 (2) A可逆 r(AB)= r(B)； B可逆 r(AB)= r(A) 证：设A可逆，则 即对B作s次初等行变换可得AB ∴ r(AB)＝r(B) 三、几个常见结论 (1) 0≤r(Am×n)≤min{m, n} (3)①r(A)＋r(B)－n≤r(Am×nBn×s)≤min{r(A) , r(B)} A=P1P2…Ps (Pi为初等矩阵) ∴AB=P1P2…PsB Am×nBn×s＝O r(A)＋r(B)≤n (证明见P68) (4) r(A＋B)≤ r(A)＋r(B) (5) 联合用于证明一些有关矩阵秩的等式 ② 例3 设A为n阶幂等矩阵(A2＝A)，证明： 证：由A2＝A得 ∴r(A)＋r(E－A)≤n 又r(A)＋r(E－A)≥r(A＋E－A)＝r(E)＝n ∴ r(A)＋r(E－A)＝ n r(A)＋r(E－A)＝n A(E－A)＝O 期中复习 设A为n(n≥2)阶方阵, 则 证:1)r(A)＝n时， ，A可逆，且 可逆 2)r(A)=n－1时,A不可逆, 而r(A)=n－1, 另一方面,r(A)=n－1 ∴A存在n－1阶子式不为0 综上,有 3) r(A) n－1时， A的所有n－1阶子式均为0, (6)