线性代数第3版 作者 陈建华 44实对称对角化.ppt

* * 第五章 矩阵的特征值与特征向量 定理 定理 定义: 设An×n , Bn×n , 若存在可逆阵P, 使P-1AP＝B, 则称A相似于B，记A~B. 复习： An×n有n个不同特征值 (充分不必要) A的每一个ki重特征值 对应ki个线性无关的特征向量 An×n相似于对角矩阵 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 4.4 实对称矩阵的对角化 1.实对称矩阵的特征值为实数，特征向量为实向量. 一、实对称矩阵特征值和特征向量的性质 2.实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必正交. 证：任取实对称矩阵A对应于不同特征值 的特征向量 , 则 将 转置后再用 右乘得： 二、实对称矩阵的对角化 1.定理 对实对称矩阵A，存在正交矩阵Q，使得 由性质3， (——由P得正交阵Q?) 正交化、单位化? 由性质2，不同特征值对应特征向量正交，只要将同一特征值对应的线性无关特征向量正交化, 再将n个向量组成的正交向量组单位化后竖排即得Q. Q -1AQ 为对角阵 3. 实对称矩阵A的k重特征值必对应k个线性无关特征向量 A有n个线性无关特征向量 A可对角化 (＝QTAQ) (3)将各重根对应的线性无关特征向量正交化. (4)将全部正交向量组单位化得 (1)求A的全部不同特征值 (2)求每个特征值 (i=1,2,…,s)对应的线性无关特征向量—— 且Q-1AQ=QTAQ = 为对角阵，其主对角线上元素由各特征向量对应的特征值排成. (5)以 为列向量构成矩阵Q即为所求正交矩阵, 2.实对称矩阵对角化时,求正交矩阵的步骤: 第五章 矩阵的特征值与特征向量 例2 求正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角阵, 其中 解 ∴A的特征值为 对 , 齐次线性方程组(3E－A)X＝O的系数矩阵 (3E－A)＝ ∴A的属于特征值3的线性无关特征向量为 第五章 矩阵的特征值与特征向量 对 ,齐次线性方程组(－A)X＝O的系数矩阵 (－A)＝ ∴A的属于特征值0的线性无关特征向量为 将 正交化得 将 单位化得 令 则：Q -1AQ＝QTAQ 例3.设3阶实对称矩阵A的特征值为1,2,3, 属于1,2的特征向量分别为 (1)求A的属于特征值3的特征向量；(2)求矩阵A. 解：(1)设A的属于特征值3的一个特征向量为 则 基础解系为 故 A的属于特征值3的全部特征向量为 (2) 是R3的一组正交基. 单位化得标准正交基 记 则：Q -1AQ＝QTAQ 例4(02考研) A为3阶实对称矩阵,且满足A2＋2A＝O已知A的秩为2，求A的全部特征值. 由A2＋2A＝O得 而 ≠O 解 设 为A的一个特征值，对应特征向量为 ，则 ∵实对称矩阵A必可对角化，且r(A)＝2 ∴A的全部特征值为 相似矩阵有相同的秩! 已知A的特征值之和为1，特征值之积为－12, (1)求a、b；(2)求正交矩阵Q, 使得QTAQ＝ 例5(03考研) 设A＝ (b0) ， ∴b=2 (1)a+2-2=a=1, b2＝4 (2) 解(2E－A)X＝O得其基础解系 解(－3E－A)X＝O得 为正交向量组, 单位化得标准正交向量组: QTAQ = 正交矩阵