线性代数第3版 作者 陈建华 51二次型、正交替换法.ppt

* * 引例：方程 表示什么曲面？ 一般地，二元二次方程确定一二次曲线, 三元二次方程确定一二次曲面。为研究其性质, 常通过可逆线性变换消去交叉项，化为标准方程 或 经济管理中也常需用线性替换将一个n元二次齐次多项式化为仅含平方项的形式以便讨论其性质。 n元二次齐次多项式——二次型 仅含平方项代数和的二次型——二次型的标准形 研究工具——矩阵 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 第五章 二次型 5.1 二次型与对称矩阵 一、二次型及其矩阵 定义1 n元二次齐次多项式 称为x1, x2, …, xn的一个(n元)二次型. 为将二次型用矩阵表示，令aij=aji ，则有： ——二次型的矩阵形式 ＝X TA X 记f (X )＝X TA X，称A为二次型f (X)的矩阵，r(A) 称为二次型的秩. 注:1.二次型矩阵均为对称矩阵(AT=A)； 2.二次型 对称矩阵. 例1. 将二次型 f(x1, x2, x3)＝2x1x2＋x22－4x2x3＋3x32 写成矩阵形式. 解： f＝(x1 x2 x3) 解： 例3. 写出二次型 f ＝ (x1, x2, x3) 的矩阵. 例2. 求对称矩阵 所对应的二次型 解: f(x1, x2, x3)＝x12＋5x22＋6x32－4x1x2－6x1x3－10x2x2 定义2 形如 的二次型称为标准形 ,其秩=r(D)=d1,d2,…,dn中非零元个数 如何化二次型为标准形? 为此, 先介绍线性替换、矩阵合同等概念—— ＝Y TD Y f (Y )＝Y TDY 二、线性替换 定义 称 为由变量 x1, x2, …, xn到y1, y2, …, yn的一个线性替换 其矩阵形式: X＝CY. 若线性替换的矩阵C可逆，则称X＝CY为可逆线性替换或非奇异(非退化)线性替换, 其逆变换为Y＝C-1X; 若C为正交矩阵, 则称X＝CY为正交替换(C为正交矩阵 C-1 ＝ CT ). X＝C1U，U＝C2Y C1、C2为正交阵 (1) (2) C1C2为正交阵 X＝(C1C2)Y f ( X )＝X TA X 经可逆线性替换 X＝C Y 后： f ( X )＝(CY )TA(CY ) ＝ Y T(C TAC ) Y ＝ Y T B Y 称A与B合同 三、矩阵合同 定义 设An×n , Bn×n ，若存在可逆阵C，使 CTAC＝B，则称A与B合同，记A B. 性质 与相似关系类似(证明也类似)，具有 (1)反身性； 定理 经可逆线性替换, 原二次型矩阵与新二次型矩阵合同. (因为ETAE＝A) (由CTAC＝B得: (由C1TAC1 ＝B , C2TBC2 ＝C得: A＝(C- 1) TB C-1) C2T (C1TAC1) C2 ＝ (C1C2 )TA(C1C2 ) ) (2)对称性； (3)传递性. ? B对称？ 定理 经可逆线性替换，原二次型矩阵与新二次型矩阵合同. 证: 设 经可逆线性替换 X＝CY 得: f ( X )＝(CY )TA(CY ) ＝ Y T(C TAC ) Y ＝ Y T B Y 其中B＝C TAC. BT＝(CTAC)T ＝ 故B为对称矩阵. ∴ 为新二次型,且B为其矩阵. ∵C TAC ＝B，C可逆 原二次型 f ( X )＝X TA X Y T BY 注:1) ∵CT, C可逆 即：“合同的矩阵有相同的秩”；或： “可逆线性替换不改变二次型的秩”. ＝C TAC 2)正交替换X=QY前后的二次型矩阵既合同,又相似. CTATC＝ CTAC＝B. ∴r(B)＝r(CTAC)＝r(AC)＝r(A) CTAC＝B 合同 相似 QTAQ=B=Q–1AQ ＝P–1AP 第五章 二次型 5.2 化二次型为标准形 二次型 二次型矩阵 化二次型为标准形 给定对称矩阵A， D(对角阵) 能否做到？ 一、正交替换法 定理1 任一实二次型 f ( X )＝X TA X 均可经正交替换 X＝QY化为标准形 ，其中 为A的全部特征值，Q的列向量 为对应于 的标准正交特征向