应用微积分(上册) 作者 刘春凤应用微积分 第4章 4.4.ppt

2. 设 * 主讲教师： 在线教务辅导网： 教材其余课件及动画素材请查阅在线教务辅导网 QQ:349134187 或者直接输入下面地址： 第 4 章 中值定理与导数的应用 中值定理 洛必达法则 函数的单调性与凹凸性 函数的极值与最值 *函数图形的描绘 1 2 3 函数的极值及其判别条件 求函数极值的步骤 闭区间上连续函数最值的求法 4 最值问题举例 观察函数 的图形 当 和 时， 曲线的最低点，但与 和 附近的函数值 、 分别是最高点和最低点。也就是说 分别是当 和 值和最小值。为了描述这种点的性质，引进函数极值 既不是曲线的最高点，也不是 相比， 附近的最大 的概念。 设函数 在点 的一个邻域 内有定义，如果对任意 ，总有 ，则称 为函数 的极大值， 称为函数 的极大值点；如果对任意 总有 ，则称 为函数 的极小值， 称为函数 的极小值点。 定义4.5 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点 和 函数的极大值点和极小值点。 统称为极值点。如图4.11所示， 分别为 1）极值是一个局部性的概念，在整个区间上极大值未必是最大值，极小值未必是最小值； 2）极大值未必大于极小值。 现在的问题是如何求函数的极值点，如何判定极值点是极大值点还是极小值点？为此我们先介绍极值点的必要条件。 【注】 定理 4.7 （极值点的必要条件） 是函数 值点，则 必为函数 若 不存在，则 为一阶可疑点；若 不妨设 为极大值,则 = = 又 = = ，所以 ，即 注意到 ， 是 所以一阶可疑点未必是极值点。 若 的一阶可疑点，反之不然。 存在， 为驻点。 的驻点，但不是极值点， 的极 证 定理 4.8 （极值的第一充分条件） 设函数 在点 的某邻域 内连续,且在 两侧可导。 （1）如果当 时 ，而当 时 则 （2）如果当 时 ，而当 时 则 （3）如果 在 两侧不变号，则 在 处无极值。 为极大值。 为极小值。 （1）当 时 ，则 所以 。当 时 ，则 所以 ，从而对任意 总有 ，所以 是 （2）同理可证。 （3）如果 在 两侧不变号，那么 在 的两侧均单调增加或单调减少，从而 下图明示了该定理的内涵。 的极大值。 不是极值点。 证 （4）用一阶可疑点把定义域分开后列表判定。 （1）求 的定义域； （2）求 （3）求一阶可疑点 （5）求出极值 求函数 的极值 （1）定义域为 （2） （3） 无解， 时 （4）把所求得的信息列表如下： 不存在 为极大值 — 不存在 + 2 例 4.18 解 已知函数 在 处有极值，求 的值． 若 处函数有极值，则应有 ， 所以 即 当函数 在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也 可以利用下列定理来判定 在驻点处取得极大值还是极 小值。 例 4.19 解 定理 4.9 （极值的第二充分条件） 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . (1) 存在 由第一判别法知 (2) 同理可证 . 证 【注】 当 ， 时， 在 大值，也可能有极小值，也可能没有极值。例如， 这三个函数在 处就分别属于这3种情况.因此，当 时，定理4.9失效，需用定理4.8判定。 处可能有极 求函数 的极值 ① 定义域为 ② ③ 令 ，得驻点 ④ ， 因 ，所以 为极大值， 因 ，所以 为极小值。 例 4.20 解 某种糕点商生产某种糕点的收入函数 与成本 函数 分别是 （千元）， （千元） ， 的单位是百公斤.问他应生产多少公斤糕点才 不赔钱？ 利润函数 只有当 时才不赔钱， 时会赚钱． 当 （百公斤）时才不赔钱； 时，赔钱， 时赚钱。 例 4.21 解 而 它恒大于0.边际利润大于0 ,表明多生产可以提高总利润 （包含减少亏损的含义）,本题中,当 公斤时,多生 产可以减少亏损,因为这时的总利润小于零.直到900公斤 后，才能真正赚钱。 是接受能力的一种度量， 通过研究一组学生的学习行为,心理学家发现 接受能力(即学生掌握一个概念的能力)依赖于在概念引入 之前老师提出和描述问题所用的时间。讲座开始时，学生 的兴趣激增，但随着时间的延长，学生的注意力开始分散。 分析结果表明，学生掌握概念的能力由下式给出： 其中 是提出概念所用的时间 （单位：min）。 例 4.22 (a) 为何值时，学生接受能力增强或降低？ (b) 第10分钟时，学生的兴趣是增长还是注意力下降？ (c) 最难的概念应该在何时讲授？ 授吗？ (d) 一个概念需要55的接受能力，它适于对这组