流体力学 作者 张国强 吴家鸣 第11章.ppt

从本例可看出应用有限差分法求解流体流动问题大致应包含以下三个部分： 1) 根据物理条件写出问题的控制微分方程和定解条件。 2) 将微分方程差分化。这包括： ???? ●把定解域离散化，选定网格步长，建立网格，并将未知函数离散成节点值； ?????●在所建立的网格上构成微分方程和定解条件的差分格式，形成关于未知节点函数值的代数方程组。 3) 解代数方程组求得流动问题的数值解。 11.1.2 差分格式及其基本构造方法 1. 差商、逼近误差 设有x的解析函数y = f (x) ，则 称为函数y = f（x）在点x的差商，而 、 分别称为函数及自变量的差分 称 表示的差商称为一阶向前差商， 类似地，称 一阶向后差商； 称 为一阶中心差商。 而称 二阶中心差商。 从以上的差商表达式可知，所取差商不同，逼近误差也不同。对于一阶导数来说，向前差商和向后差商的逼近误差相同，都是 量级，具一阶精度；而一阶和二阶中心差商的逼近误差同是（ ）2量级，都具有二阶精度。对于一阶导数的差商逼近，中心差商的精度比向前差商和向后差商都要高。 2. 差分网格、差分方程 【例11-1】一维对流方程初值问题的差分格式构建。微分方程和初值条件为 图11-2 网格剖分 在上述的网格剖分下，可写出对流方程定解问题的差分格式如下： 像上式这样的时间导数采用向前差商近似，空间导数采用中心差商近似的格式称为FTCS（Forward Time Central Space）格式。 上述一维对流方程初值问题也可采用时间和空间都向前差分的格式来近似，这时差分方程成为: 像上式这样的时间导数和空间导数都采用向前差商近似的格式称为FTFS（Forward Time Forward Space）格式。 若采用时间向前差分、空间向后差分，则可得到一维对流方程的FTBS（Forward Time Backward Space）差分格式： 图11-3 格式图 a) FTCS格式 b) FTFS格式 c) FTBS格式 FTCS、FTFS和FTBS三种格式对 都是一阶精度；对 ，FTCS格式为二阶精度、FTFS和FTBS为一阶精度。这三种格式都只涉及两个时间层的量，只要已知第n层上的函数值就可以显式地计算第n+1层上的函数值，因而都是显式差分格式。 问题： 用差分方法离散上述对流方程定解问题时，似乎FTCS、FTFS和FTBS三种格式都可以。那么，是不是对任一微分方程其差分格式都可以是任意的？ 答：对于一个定解微分方程，可以用不同的差分格式离散，但不是任意的一个格式都可以获得合理的解；而且即使都是可用的（即可获得合理解的）差分格式，它们之间一般也存在着优劣。所以，为获得有意义的微分方程数值解，差分离散时应当遵循一定的基本原则、满足一定的条件。 11.1.3 差分方程的相容性、收敛性和稳定性 采用有限差分法求解由微分方程所描述的流体流动问题时，在确定差分离散格式是否可用之前必须回答三个问题：当差分网格的时间与空间步长趋向于零时，差分方程是否充分逼近原微分方程；差分格式的真解是否充分逼近原微分方程的精确解；差分格式的近似解与真解之间的误差是否有界。这三个问题在有限差分法理论中分别称为相容性，收敛性和稳定性。 相容性 所谓相容性是指当差分网格步长（时间步长和空间步长）都趋向于零时，差分方程的截断误差也趋向于零，表明差分方程在形式上逼近原微分方程；若在每一网格节点上差分方程与原偏微分方程都是等同的，则称差分方程与原微分方程相容。若网格步长趋向于零时，差分方程的截断误差不趋向于零，导致差分方程在形式上不逼近于原微分方程，则称差分方程与原微分方程不相容。 【例11-2】讨论以下一维扩散方程的差分方程的相容性： 对于该方程，用时间导数用向前差商，空间二阶导数用二阶中心差商来逼近，就有 差分方程具有以下的截断误差： 显然，当 ， 时，截断误差 ；因此差分方程与原偏微分方程相容，或者说差分方程与原偏微分方程具有相容性。 【例11-3】同上例，但一维扩散方程用Dufort-Frankel格式来逼近： 一维扩散方程的Dufort-Frankel格式的截断误差为： 当 与 为同一量级，有 截断误差不再为零，差分方程与原微分方程不相容。 2. 收敛性 对于差分网格上的任意计算节点，它对应于原微分方程定解域上的点 ，设差分格式在此点的精确解为 ，而原微分方程的精确解为u ，则二者之差 称为差分格式在此网格节点上的离散化误差。 如果在任一网格节点上，当 、