流体力学 作者 张国强 吴家鸣 第12章.ppt

第12章 有限元法 有限元法基本思想起源于20世纪40年代 20世纪50年代开始被用于求解结构力学问题 1960年Clough在其发表的论文中首次使用了有限元法（Finite Element Method, 简称FEM）这一术语，并采用有限元思想进行了飞机结构的计算 进入20世纪70年代以后，有限元法开始应用于流体流动问题的数值求解 12.1 有限元法理论基础 12.1.1 若干数学概念 1. 线性空间 设某类元素的集合，其元素之间定义了加法运算和数乘运算： 在变分问题分析中也可以根据微分方程定解问题化为等价的变分问题后原边界的变化来判断本质边界条件和自然边界条件。如果原定解问题仍然是变分问题的边界约束，则这类边界条件即为本质边界条件；反之，如果它在化为变分问题后，被吸收进了变分的泛函式而不再成为变分的边界约束，则这类边界条件为自然边界条件。 将偏微分方程定解问题转化为等价的变分问题的特点之一，就是定解条件可以减少，自然边界条件不再作为变分问题的约束条件列出，只要求本质边界条件。 式（12-1）中，若u满足齐次边界条件、L为自伴算子L*=L，则，因此可得L(u)的转移关系为 = 满足上式关系的算子称为对称算子。对称算子就是自伴算子，只不过作用的函数u应满足齐次边界条件。 12.1.2 加权余量法 加权余量法以一组线性无关的函数序列组合成近似解来逼近微分方程的精确解；因为近似解不能精确地满足原方程，将前者代入后者时，原方程两边就产生一误差ε，称之为“余量”（residuals）；迫使误差ε与某种权函数的内积为零，即强制余量经过某种加权平均后等于零，这种方法称为加权余量法，权函数的不同取法就引出不同形式的加权余量法。 12.2 有限元法一般介绍 12.2.1 有限元法基本思想 应用有限元法求解微分问题的主要步骤： 1) 将微分方程定解问题化为等价的变分问题（泛函积分表达式）或伽辽金积分表达式。 2) 解域剖分：根据求解域的形状及实际问题的物理特点，将求解域剖分成具有一定几何形状的有限个单元，确定单元中节点数目与位置，并对节点进行总体编号和局部编号，得出节点局部编号与总体编号的关系。 3) 确定单元基函数：根据单元中节点数目以及对近似解的可微性要求选择满足一定插值条件的插值函数作为单元基函数。 4) 单元分析：在代表性单元上，变分泛函或伽辽金积分表达式。将各单元的求解函数用单元基函数的线性组合表达式（称为求解函数的近似函数）进行逼近，再将近似函数代入积分表达式并在单元区域上积分，得到以待定节点函数值为未知量的代数方程组，称之为单元有限元方程。 5) 总体合成：将单元有限元方程按一定法则进行累加，形成整个求解域上的总体有限元方程，具体计算中就是将单元有限元方程的系数矩阵累加为总体有限元方程的系数矩阵。 6) 边界条件处理：定解问题中的边界条件处理主要是指本质边界条件的处理，自然边界条件一般在积分表达式中已得到满足。 7) 解总体有限元方程，求得整个求解域上节点处的函数值。 12.2.2 解域剖分 所谓解域剖分，就是将求解区域（即以变分法推导出来的泛函积分表达式或以伽辽金法推导出来的伽辽金积分表达式中的积分区域）划分成若干互相连接、互不重叠的子区域，并称这些子区域为单元。 为方便计算，单元通常取简单、规则的形状，但它们的大小可以不同。对于一维问题，是把求解的线段区域剖分成线段子区域；对于二维问题，通常是把求解区域剖分成三角形或四边形单元；而对于三维问题，则往往把空间区域剖分成四面体单元或六面体单元。 单元剖分完成后，再根据对近似函数可微性要求等因素，在每个单元上选择若干节点，一般取单元的几何形状特征点为节点。 单元划分及节点布置完成之后，还要进行编号。 1) 单元号：全区域单元统一编号，记为，E是区域单元总数。 2) 总体节点号：全区域的节点按一定顺序统一编号，记为，N是区域节点总数。 3) 单元节点号：也称局部单元节点号。对于每一个单元，将其中的节点按统一的顺序（统一按逆时针或顺时针）进行编号，单元节点号记为，I为单元的节点数。 简单例子：图12-9中的矩形区域被剖分成8个三角形单元， ；共9个节点 ;每个单元有三个节点， 。图中还标明了这三种序号的位置，从而也就确定了各单元中单元节点号与总体节点号之间的关系。通常，这一关系可汇总为如表12-5所示的单元信息表，以供总体有限元方程合成时使用。 在二维区域上进行这种三角形剖分并进行节点编号时应遵循的规则： 12.2.3 单元分析 单元分析的任务： 1）确定单元的基函数； 2）以单元基函数