理论力学 作者 肖明葵 第10章 刚体的平面运动.ppt

10.1 刚体的平面运动及其分解 10.2 平面图形上各点的速度 10.3 瞬时速度中心 10.4 平面图形上各点的加速度 在第8章中介绍了刚体的两种基本运动，但一般的刚体运动都有可能是更为复杂的运动，本章介绍刚体的另一种比较复杂的运动，刚体的平面运动，并应用第九章中介绍的合成运动的概念，介绍求解刚体平面运动的方法。 刚体运动时，若刚体内任一点到某一固定平面的距离均保持不变，这样的运动称为刚体的平面平行运动，简称平面运动。显然，作平面运动的刚体上的任一点都在与某固定平面平行的平面内运动。 例如图10.1所示的行星齿轮机构中的行星轮B的运动、曲柄连杆机构中的连杆AB的运动和沿直线轨道滚动的车轮的运动等刚体的运动，它们既不是平动，也不绕某个固定点转动，它们运动的共同特点是：在整个运动过程中，刚体总保持在它自身原来所在的平面内运动。这些刚体的运动都是平面运动。 　　　设图10.2所示为一作平面运的刚体，在空间找一个固定平面P0 ，由上述平面运动的定义可知，当刚体作平面运动时，刚体上所有与空间某固定平面P0 距离相等之点所构成的平面图形S就恒保持在它自身所在的平面P内运动，且平面P与P0 平行，如图10.2所示。 　　　在图10.2中，可以看出刚体作平面运动的特征。特征之一是平面图形S上任一点M与固定平面P0 上的垂点M0的距离始终保持不变；特征之二是刚体上任一垂直于平面图形S的直线段M1M2在运动的过程中始终作平动。因此，刚体的平面运动可以看成是有很多个与P0 平面平行的平面图形作相同的运动组成，只要求到其中某一个平面图形S的运动，就可得到整个刚体的运动。由此可知刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身所在的平面内的运动来研究。 　　　研究平面图形S在它自身所在的平面P内的运动时，可在平面图形S所在的平面P上建立固定坐标系Oxy ，如图10.3所示。在任一瞬时，平面图形S的位置可由其上任选的直线段O ′M的位置所确定。而直线段O ′ M的位置可由线段O ′ M上任一点的坐标和线段O ′ M与某固定轴之间的夹角来确定。 因此，可选择直线段O ′ M上的O′点的坐标，以及线段O′ M与静坐标系的x坐标轴Ox之间的夹角，即可确定平面图形S的位置。O′点是在平面图形上任选的点，称为基点。 　　　当刚体作平面运动时，基点O′的坐标以及线段O′ M与轴Ox之间的夹角均随时间而不断变化，都是时间t的单值连续函数，即 　　　由图10.3可以看出：图形S在运动过程中，若角保持不变，只是基点的坐标随时间变化，则图形S上任一直线段O’M在运动过程中保持与原来位置平行，即图形只随着通过基点建立的平动坐标系在平面P内平动；若保持不变，即基点O’的位置不变，只是角随时间的变化而变化，则图形S以过基点O’且垂直于该平面的轴作定轴转动。由此可见，平面运动包含了刚体基本运动的两种形式：平动和定轴转动，或者说，平面运动由平动和转动复合而成。故可用有关运动的分解与合成的理论和方法研究刚体的平面运动。 　　　为了便于用类似于点的合成运动的方法来研究刚体的平面运动，在图形上任选基点O′，并以O′点为坐标原点建立跟随基点运动的平动坐标系O′x′y′。令平动坐标系O′x′y′的坐标轴分别与固定坐标系Oxy的坐标轴轴平行，则无论平面图形怎么运动，坐标轴的方向始终保持不变，并分别与坐标轴轴保持平行，如图10.3所示。 　　　因此，动坐标系随基点O′作平动，而平面图形S又相对于动坐标系绕基点O′转动。由此可知，平面图形S的绝对运动可看成为跟随基点O′的平动（即随动坐标系的牵连运动）和绕基点O′的转动（即相对于动坐标系原点的转动为相对运动）的合成。 首先讨论随基点的平动，即牵连运动。基点位置的选择是任意的，如图10.4所示，在平面图形上任选 点或者点 作为基点都是可以的，但由于 和 这两点的运动状态不同，所以分别以这两个点建立的两个平动坐标系 和 分别随基点 或者 的平动状态也不相同。 如果以 点为基点，则平面图形上各点的轨迹均为与 点的运动轨迹相平行的曲线，各点的牵连速度和牵连加速度均分别是基点 的速度 和加速度 ；但如果以 点为基点，则平面图形上各点的轨迹均为与 点的运动轨迹相平行的曲线，各点的牵连速度和牵连加速度均分别是基点 的速度 和加速度 ，如图10.4所示。从图10.4中可以看到，平面图形S上不同的两个点 和