《华南理工大学高等数学统考试卷下2008》.doc

高等数学下册试卷 2009．7．1 姓名： 学院与专业： 学号： 填空题[共24分] 1、[4分]函数在点处可微是它在该点偏导数与连续的 必要 条件（填必要、充分或充要），又是它在该点有方向导数的 充分 条件（填必要、充分或充要） 2、[4分]向量场的散度为. 向量场的旋度为. 3、[4分] ]设有连续偏导数，则 4、[4分] 交换二次积分的积分次序 5、[4分]设曲面为柱面介于平面与部分的外侧，则曲面积分 0 ， 6、设，则它有极小值 [8分] 设，求 解：两边取微分，得 从而， [7分] 设长方形的长、宽、高满足，求体积最小的长方体。 解：令 则，从而 再由即约束条件，可得，从而 由问题的实际意义可知，当体积最小长方体的长、宽、高均为3。 [7分] 求球面含在圆柱面内部的那部分面积 解：上半球面的部分为 [7分] 计算三重积分，其中.是由单位球面围成的闭区域 解：由对称性 从而 [7分]计算曲面积分，其中是圆锥面位于平面之间下方部分的下侧 解：取上侧 则原式 七[7分] 计算曲线积分，其中表示第四象限内以为起点为终点的光滑曲线。 解：由于， 从而只要路径不经过直线，该曲线积分就与路径无关 取路径， [7分]求微分方程的通解 解：， ， [7分]计算满足下述方程的可导函数， 解：原方程两端求导得 即，这是标准的一阶线性微分方程 原方程令得，代入通解得，从而 [6分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设且，试根据的值判定级数的敛散性 解：，从而 当，即时，级数收敛；当，即时，该级数发散 [6分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设是周期为的周期函数，它在上的表达式为，试将函数展开成傅立叶级数 解：，（奇函数在对称区间上积分） 从而 [7分]（非化工类做，即老师教了级数一章的同学才做）设，证明：满足微分方程，并求 解： 从而 而且 解初值问题， ，通解为 ，由初值条件：， [6分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）求解初值问题 解：方程对应的齐次方程为，它的特征方程为， 特征根为，从而对应通解为 容易看出的一个特解为，因此原方程的通解为 从而，由初值条件可得。 因此 [6分]（化工类做，即不学级数一章的同学做）设是曲线在点处的切向量，求函数在该点沿的方向导数 解：方程组两端对求导，得 把代入得，解得，于是在点处的切向量为，单位切向量为 所求方向导数为 [7]（化工类做，即不学级数一章的同学做）给定曲面为常数，其中有连续偏导数，证明曲面的切平面通过一个定点 证：令，则 从而曲面在点处的切平面为 ，其中为动点。 显然时成立，故切平面均过。证毕 华南理工大学高等数学统考试卷下2008.doc共6页第6页