《天津市二零一六年-二零一六年年大学数学竞赛试题及答案》.doc

2001-2007年天津市大学数学竞赛试题集 （2009.3.10整理） 2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案 （理工类） 填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横杠上面。） 1. 函数在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。 2. 设函数y = y(x) 由方程所确定，则 。 3. 由曲线与x轴所围成的图形的面积A = 。 4. 设E为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则 。 5．设L是顺时针方向的椭圆，其周长为l ，则 4l 。 二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。） 1. 若且，则（ D ） （A） 存在； （B） （C） 不存在； （D） A、B、C均不正确。 2. 设，，则当时，（ A ） （A）与为同阶但非等价无穷小； （B）与为等价无穷小； （C）是比更高阶的无穷小； （D）是比更低阶的无穷小。 3. 设函数对任意x都满足，且，其中a、b均为非零常数，则在x = 1处（ D ） （A）不可导； （B）可导，且； （C）可导，且； （D）可导，且。 4. 设为连续函数，且不恒为零，I=，其中s 0，t 0，则I的值（ C ） （A）与s和t有关； （B）与s、t及x有关； （C）与s有关，与t无关； （D）与t有关，与s无关。 5. 设u (x，y) 在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足及，则（ B ）。 （A）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部； （B）u (x，y) 的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （C）u (x，y) 的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）u (x，y) 的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上。 以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。 三、求极限 。（本题6分） 解：； ； ； 由此得到： 。 四、计算。（本题6分） 解： 命：，于是 五、设函数的所有二阶偏导数都连续，，，求。（本题6分） 解：两边对x求导，得到 代入，求得 ， 两边对x求导，得到 ， 两边对x求导，得到 。 以上两式与已知联立，又二阶导数连续，所以，故 。 六、在具有已知周长2p的三角形中，怎样的三角形的面积最大？（本题7分） 解：设三角形的三条边长分别为x、y、z，由海伦公式知，三角形的面积S的平方为 则本题即要求在条件x + y + z = 2p之下S达到的最大值。它等价于在相同的条件下S2达到最大值。 设 ， 问题转化成求在 上的最大值。其中D中的第3个条件是这样得到的，由于三角形的任意两边之和大于第三边，故有x + y z，而由假设x + y + z = 2p，即 z = 2p－（x + y），故有x + y z = 2p－（x + y），所以有x + y p。 由， 求出在D内的唯一驻点。因在有界闭区域上连续，故在上有最大值。注意到在的边界上的值为0，而在D内的值大于0。故在D内取得它在上的最大值。由于在D内的偏导数存在且驻点唯一，因此最大值必在点M处取得。于是有 ， 此时x = y = z =，即三角形为等边三角形。 七、计算。（本题8分） 解：先从给定的累次积分画出积分区域图，再交换累次积分次序，得到 。 八、计算曲面积分，其中Σ为上半球面的上侧。（本题7分） 解：记S为平面z = 0（ x2 + y2 ≤ a2 )的下侧，Ω为Σ与S所围的空间区域， 九、已知a0，x10，定义 求证：存在，并求其值。（本题8分） 解：第一步：证明数列的极限存在： 注意到：当n ≥ 2时，≥，因此数列有下界。又≤，即xn+1≤xn ，所以单调递减，由极限存在准则知，数列有极限。 第二步：求数列的极限 设：，则有≥。 由， 有，解得（舍掉负根），即。 十、证明不等式。（本题7分） 证明：设，则 。 命，得到驻点 x = 0。由 可知 x = 0 为极小值点，亦即最小值点，最小值为，于是对任意有，即所证不等式成立。 十一、设函数在闭区间