采矿弹性力学基础弹性波的传播.ppt

CHAP 7 弹性波的传播 §7-1 弹性波的微分方程 §7-2 无旋波与等容波 §7-3 平面波的传播 §7-4 表层波的传播 §7-5 球面波的传播 * 概述 当静力平衡状态下的弹性体受到荷载作用时，并不是在弹性体的所有各部分都立即引起位移、形变和应力。 在作用开始时，距荷载作用处较远的部分仍保持不受干扰。 在作用开始后，荷载所引起的位移、形变和应力，就以波动的形式用有限大的速度向别处传播。 这种波动就称为弹性波。 本章将首先给出描述弹性体运动的基本微分方程 然后介绍弹性波的几个概念 针对不同的弹性波，对运动微分方程进行简化 最后给出波在无限大弹性体中传播速度公式。 * §7-1 弹性体的运动微分方程 上述两条假设，完全等同于讨论静力问题的基本假设。 因此，在静力问题中给出的物理方程和几何方程，以及把应力分量用位移分量表示的弹性方程，仍然适用于讨论动力问题的任一瞬时 所不同的仅仅在于，静力问题中的平衡微分方程必须用运动微分方程来代替。 本章仍然采用如下假设： （1） 弹性体为理想弹性体。 （2） 假定位移和形变都是微小的。 * 对于任取的微元体，运用达朗伯尔原理，除了考虑应力和体力以外，还须考虑弹性体由于具有加速度而产生的惯性力。 每单位体积上的惯性力在空间直角坐标系的x,y,z方向的分量分别为: 其中ρ为弹性体的密度。 §7-1 弹性体的运动微分方程 * 由平衡关系，并简化后得： 上式称为弹性体的运动微分方程。 它同几何方程和物理方程一起构成弹性力学动力问题的基本方程。 §7-1 弹性体的运动微分方程 * 注1：几何方程 §7-1 弹性体的运动微分方程 * 注2：物理方程 §7-1 弹性体的运动微分方程 * 由于位移分量很难用应力及其导数来表示，所以弹性力学动力问题通常要按位移求解。将应力分量用位移分量表示的弹性方程代入运动微分方程，并令： 得： §7-1 弹性体的运动微分方程 * 这就是按位移求解动力问题的基本微分方程，也称为拉密（Lame)方程。 要求解拉密方程，显然需要边界条件。除此之外，由于位移分量还是时间变量的函数，因此求解动力问题还要给出初始条件。 为求解上的简便，通常不计体力，此时弹性体的运动微分方程简化为： §7-1 弹性体的运动微分方程 * §7-2 无旋波与等容波 一、无旋波 所谓无旋波是指在弹性体中，波动所产生的变形不存在旋转，即弹性体在任一点对三个垂直坐标轴的旋转量皆为零。 假定弹性体的位移u,v,w可以表示成为： 其中 是位移的势函数。 这种位移称为无旋位移。而相应于这种位移状态的弹性波就称无旋波。 * [证]：在弹性体的任一点处，该点对z 轴的旋转量 即弹性体的任一点对三个坐标的旋转量都等于零 将 代入，可得： 同理 §7-2 无旋波与等容波 * 在无旋位移状态下 从而 同理 将上三式代入不计体力的运动微分方程，并简化后得无旋波的波动方程 §7-2 无旋波与等容波 * 其中 就是无旋波在无限大弹性体中的传播速度 §7-2 无旋波与等容波 * 所谓等容波是指在弹性体内，波动所产生的变形中体积应变为零 。即弹性体中任一部分的即体积保持不变。 二、等容波 假定弹性体的位移 u,v,w 满足体积应变为零的条件，即： 这种位移称为等容位移。而相应于这种位移状态的弹性波就是等容波。 §7-2 无旋波与等容波 * 由于 ，故不计体力的运动微分方程简化后，得等容波的波动方程： 其中 就是等容波在无限大弹性体中的传播速度。 §7-2 无旋波与等容波 * 对于无旋波和等容波，我们不加证明地给出如