金融数学连续时间金融初步.ppt

第六章 连续时间金融初步 连续时间金融理论是现代金融经济学的分支 衍生品的定价(比如期权)正是建立在连续时间金融理论之上 本章共分为4节 第一节，连续时间金融的基础数学知识； 第二节，Merton(1969)的开创性论文； 第三节，讲解Black—Scholes模型； 第四节，简单回顾必威体育精装版连续时间金融理论研究 第一节 连续时间金融数学基础 涉及到的数学： 测度论、实变函数、随机过程、随机微分方程、马尔可夫链 等等 已经超过本教材的范围， 详细内容，参阅下面经典著作： Protter (1992) Karatzas和Shreve(1988) Ikeda和Watanabe（1989） Chung和Williams（1990） Williams（1991） 布朗运动与几何布朗运动 定义：称随机过程 为标准布朗运动（Brownian Motion）或维纳过程（Wiener process），如果满足4个条件： （1）该运动起始于0点，即，B0=0； （2）该运动具有平稳性和独立增量性； （3）对任意的t＞0，Bt服从均值为0，方差为t的正态分布，即，Bt～N（0，t）。 （4）该运动样本轨迹连续，即，不存在跳跃 结论：随机变量Bt－Bs (t＞s)与随机变量Bt-s的分布相同， 都服从均值为0，方差为t-s的正态分布 分布的相等并不意味着样本路径的相等 性质6-1：布朗运动为0.5自相似 性质6-2：布朗运动相对于自然过滤Ft=σ(Bs，t＞s)而言，为一个鞅 几何布朗运动 在Black—Scholes（1973）和Merton（1973）的论文中，都假定价格的波动（运动）服从几何布朗运动，即 Taylor展开 以双变量的Taylor展开为例。三阶略去。 Ito引理 第二节 不确定情形下的连续时间资产组合决策 以Merton（1969）的经典论文为例 在Merton（1969）之前，有少量的文章分析多期下的资产组合问题，或者在分析经济问题的时候运用多期分析的框架 例如，Tobin（1965）、Phelps（1962）和Samuelson（1969） 从严格的意义上讲，Merton（1969）的文章是连续时间金融领域的奠基之作 Merton连续时间金融模型 假设存在一个典型代表性的经济人 W(t)表示该经济人在t时刻的总财富 Xi(t)表示t时刻第i种资产的价格（i=1,2,…,m） C(t)表示t时刻的单位时间消费 假定任一资产价格服从几何布朗运动 某一时间段资产收益服从大漂移的布朗运动 投资者面临的决策问题是： 在给定的投资期限下（无限期的情形更简单），如何进行消费决策以及投资决策，使得投资期限内的总效用最大化 在这个决策系统里，消费水平以及投资于m种资产的比例为控制变量 求解Bellman方程时，必须清楚哪些是控制变量，哪些是状态变量 为了求解优化问题，先进行必要计算，以便在求解优化问题的时候将注意力集中于数学背后的经济学 简单思路 财富变化的平均速率 两种资产的简化情况 投资者的问题：选择最优的S(t)和C(t)，使得效用函数最大化 最优消费和投资策略 给定约束条件和优化条件,偏微分方程系统可以通过Matlab用数值方法求出给定参数下的解 对具有不变的相对风险厌恶系数类的效用函数 最优消费为该时刻财富的线性函数 投资与风险资产的最优权重与时间及财富都无关 与风险资产的波动性、经济人偏好有关 第三节Black-Scholes 期权定价公式 Black和Scholes的期权定价模型，利用无套利定价模型，不依赖于投资者的风险态度 无套利定价，是指如果金融市场上的期权是正确定价的，那么，投资者就不能通过买入或者卖空期权及其标的资产来建立投资组合得到超过无风险资产收益的确定的回报 给出Black-Scholes 模型的定义以及在此模型下的期权定价公式 推导主要基于Black和Scholes(1973) Black-Scholes 模型 Black和Scholes(1973)用几何布朗运动作为股票价格运动的随机过程。假设股票价格St过程服从线性随机微分方程（SDE） 利用Ito公式，得到股票价格波动过程 Black-Scholes对金融市场的假设 1．短期利率已知，且不随时间变化； 2．股票价格服从连续时间的随机游走，其方差与股票价格的平方成比例。在任何有限时间区间的期末，股票价格服从对数正态分布，且股票收益的方差为常数； 3．股票不支付红利，也没有其它支出； 4．期权是“欧式的” ； 5．买卖股票和期权不存在交易费； 6．能够以短期利率借入证券价格的任意比例的资金用以购买证券； 7．卖空没有交易费。 自融资策略 交易策略是指概率空间上的一对循序可测的随机过程 循序可测的概念参见严加安的《测度论