随机过程及应用预备知识特征函数.ppt

推论1 设随机变量 相互独立, 令 , 则Y的特征函数为 注意：定理5.3与推论1的区别？ 练习：X~U(0,1), P{Y=0}=P{Y=1}=1/2, X,Y相互独立，试确定X+Y的分布？ Ex.12 随机变量Y～B(n, p), 写出其特征函数. 解 二项分布随机变量Y可表示为 且Xk～B(1, p),(k=1,2,…,n)相互独立,故Y 的特征函数为 推论2 若随机变量 相互独立同分布, 则 的特征函数为 Ex.13 若X1,X2,…,Xn相互独立,且Xk～N(0,1),证明 也服从N(0,1)分布. 证 Xk的特征函数为 ,则 从而 由惟一性定理知,Y～N(0,1). * * 一．特征函数的定义及例子 设X, Y是实随机变量,复随机变量 Z=X + jY 的数学期望定义为 特别 预备知识5 特征函数 注 1） costx 和 sintx 均为有界函数, 故 总存在. 2) 是实变量t 的函数. X是实随机变量 求随机变量函数的数学期望 定义5.1 设X是定义在(Ω,F , P )上的随机变量,称 为X的特征函数. 关于X的分布函数的富里埃-司蒂阶变换 当X是连续型随机变量,则 当X是离散型随机变量,则 Ex.1 单点分布 Ex.2 两点分布 Ex.3 二项分布 Ex.4 泊松分布 Ex.5 指数分布 Ex.6 均匀分布 Ex.7 正态分布N(a,σ2) 特别对正态分布N(0,1)，有 证明 二．特征函数性质 性质5.1 随机变量X的特征函数满足： 证 许瓦茨不等式(6.1.3) 性质5.2 随机变量X的特征函数为 则Y= aX+b的特征函数是 a, b是常数. Ex.8 设η～N(a,σ2), 求其特征函数. 解 设X～N( 0, 1),有Y=σX+ a, 且 证 性质5.3 随机变量X的特征函数 在R上一致连续. 使 时,对t 一致地有 一般， 性质5.4 特征函数是非负定的函数，即对任意正整数n, 任意复数z1, z2 ,…, zn,及 证 注 以上性质中 一致连续性，非负定性是本质性的. 定理5.1 (波赫纳—辛钦) 函数 为特征函数的充分必要条件是在R上一致连续, 非负定且 定理5.2 若随机变量X 的n阶矩存在,则X的特征函数 的k 阶 导数 存在,且 下定理给出了特征函数与矩的关系 注 逆不真. 证 仅证连续型情形 设X的概率密度为f(x)，有 令t=0，得 故 Ex.9 随机变量X服从正态分布 解 故 同理，可进一步计算随机变量X的k阶中心矩 三．反演公式及惟一性定理 由随机变量X的分布函数可惟一确定其特征函数： 问题 能否由X的特征函数唯一确定其分布函数？ ？ 从而 定理5.3（反演公式）设随机变量X 的分布函数和特征函数分别为F(x)和 则对F(x)的任意连续点x1, x2,（x1x2）,有 推论1(惟一性定理)分布函数F1(x)和F2(x)恒等的充要条件是它们的特征函数 和 恒等.(参见P245） 推论2 若随机变量X的特征函数 在R上绝对可积，则X为连续型随机变量，其概率密度为 反演公式 注 对于连续型随机变量X，概率密度与特征函数互为富氏变换. 则 推论3 随机变量X 是离散型的,其分布律为 反演公式 证 设 有 Ex.9 随机变量X在[ ]上服从均匀分布, Y=cosX, 利用特征函数求Y的概率密度. 解 X的概率密度为 Y的特征函数为 令 根据特征函数与分布函数的惟一性定理, 知随机变量Y的概率密度为 Ex.10 已知随机变量X的特征函数为 试求X的概率分布. 解 因 根据特征函数的惟一性定理, 知随机变量X的分布律为 X -2 0 2 p 1/4 1/2 1/4 四． 多维随机变量的特征函数 定义5. 4 二维随机变量(X, Y)的特征函数定义为 连续型 注 多维随机变量的特征函数定义见P24