【优质】三角函数解题技巧和公式(已整理).docVIP

数学 PAGE PAGE 1 浅论关于三角函数的几种解题技巧 本人在十多年的职中数学教学实践中，面对三角函数内容的相关教学时，积累了一些解题方面的处理技巧以及心得、体会。下面尝试进行探讨一下： 一、关于的关系的推广应用： 1、由于故知道，必可推出，例如： 例1 已知。 分析：由于 其中，已知，只要求出即可，此题是典型的知sin-cos，求sincos的题型。 解：∵ 故： 2、关于tg+ctg与sin±cos，sincos的关系应用： 由于tg+ctg= 故：tg+ctg，，sincos三者中知其一可推出其余式子的值。 例2 若sin+cos=m2，且tg+ctg=n，则m2 n的关系为（ ）。 A．m2=n B．m2= C． D． 分析：观察sin+cos与sincos的关系： sincos= 而： 故：，选B。 例3 已知：tg+ctg=4，则sin2的值为（ ）。 A． B． C． D． 分析：tg+ctg= 故：。 答案选A。 例4 已知：tg+ctg=2，求 分析：由上面例子已知，只要能化出含sin±cos或sincos的式子，则即可根据已知tg+ctg进行计算。由于tg+ctg= ，此题只要将化成含sincos的式子即可： 解：=+2 sin2cos2-2 sin2cos2 =（sin2+cos2）- 2 sin2cos2 =1-2 (sincos)2 =1- = = 通过以上例子，可以得出以下结论：由于，sincos及tg+ctg三者之间可以互化，知其一则必可知其余二。这种性质适合于隐含此三项式子的三角式的计算。但有一点要注意的；如果通过已知sincos，求含的式子，必须讨论其象限才能得出其结果的正、负号。这是由于（）2=1±2sincos，要进行开方运算才能求出 二、关于“托底”方法的应用： 在三角函数的化简计算或证明题中，往往需要把式子添加分母，这常用在需把含tg（或ctg）与含sin（或cos）的式子的互化中，本文把这种添配分母的方法叫做“托底”法。方法如下： 例5 已知：tg=3，求的值。 分析：由于，带有分母cos，因此，可把原式分子、分母各项除以cos，“造出”tg，即托出底：cos； 解：由于tg=3 故，原式= 例6 已知：ctg= -3，求sincos-cos2=? 分析：由于，故必将式子化成含有的形式，而此题与例4有所不同，式子本身没有分母，为了使原式先出现分母，利用公式：及托底法托出其分母，然后再分子、分母分别除以sin，造出ctg： 解： 例7 （95年全国成人高考理、工科数学试卷） 设， 求：的值 分析：此题是典型已知含正弦函数的等式求含正切、余切的式子，故要用“托底法”，由于，故，在等式两边同除以，托出分母为底，得： 解：由已知等式两边同除以得： “托底”适用于通过同角的含正弦及余弦的式子与含正切、余切的式子的互化的计算。由于，，即正切、余切与正弦、余弦间是比值关系，故它们间的互化需“托底”，通过保持式子数值不变的情况下添加分母的方法，使它们之间可以互相转化，达到根据已知求值的目的。而添加分母的方法主要有两种：一种利用，把作为分母，并不改变原式的值，另一种是通过等式两边同时除以正弦或余弦又或者它们的积，产生分母。 三、关于形如：的式子，在解决三角函数的极值问题时的应用： 可以从公式中得到启示：式子与上述公式有点相似，如果把a，b部分变成含sinA，cosA的式子，则形如的式子都可以变成含的式子，由于-1≤≤1， 所以，可考虑用其进行求极值问题的处理，但要注意一点：不能直接把a当成sinA，b当成cosA，如式子：中，不能设sinA=3，cosA=4，考虑：-1≤sinA≤1，-1≤cosA≤1，可以如下处理式子： 由于。 故可设：，则，即： ∴ 无论取何值，-1≤sin(A±x)≤1， ≤≤ 即：≤≤ 下面观察此式在解决实际极值问题时的应用： 例1（98年全国成人高考数学考试卷） 求：函数的最大值为（AAAA ） A． B． C． D． 分析：，再想办法