MATLAB程序设计教程(第二版) 刘卫国 第7章 MATLAB数值积分与数值微分新.pptVIP

MATLAB程序设计教程（第二版） 刘卫国 主编 中国水利水电出版社 第7章 MATLAB数值积分与数值微分 7.1 数值积分 7.1.1 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。 7.1.2 数值积分的实现方法 1．变步长辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数和quadl函数来求定积分。函数的调用格式为： [I,n]=quad(@fname,a,b,tol,trace) [I,n]=quadl(@fname,a,b,tol,trace) 其中，fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，默认时取tol=10-6。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，默认时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。 例7-1 求定积分。 (1) 建立被积函数文件fesin.m。 function f=fesin(x) f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。 [S,n]=quad(fesin,0,3*pi) S = 0.9008 n = 77 也可不建立关于被积函数的函数文件，而使用语句函数（内联函数）求解，命令如下： g=inline(exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6)); %定义一个语句函数 [S,n]=quad(g,0,3*pi) %注意函数名不加@号 S = 0.9008 n = 77 例7-2 分别用quad函数和quadl函数求的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。 调用函数quad求定积分： format long fx=inline(exp(-x)); [I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.285794442547663 n = 65 调用函数quadl求定积分： format long fx=inline(exp(-x)); [I,n]=quadl(fx,1,2.5,1e-10) I = 0.285794442548811 n = 18 format short 2．高斯-克朗罗德法 MATLAB提供了基于自适应高斯-克朗罗德法的quadgk函数来求振荡函数的定积分。该函数的调用格式为 [I,err]=quadgk(@fname,a,b) 其中，err返回近似误差范围，其他参数的含义和用法与quad函数相同。积分上下限可以是?Inf或Inf，也可以是复数。如果积分上下限是复数，则quadgk在复平面上求积分。 例7-3 求定积分。 (1) 被积函数文件fx.m。 function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2) 调用函数quad8求定积分。 I=quad8(fx,0,pi) I = 2.4674 3．梯形积分法 在科学实验和工程应用中，函数关系往往是不知道的，只有实验测定的一组样本点和样本值，这时，人们就无法使用quad等函数计算其定积分。在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用梯形积分函数trapz。该函数调用格式如下： I=trapz(X,Y) 其中，向量X，Y定义函数关系Y?=?f(X)。 例7-4 用trapz函数计算定积分。 命令如下： X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans = 0.2858 7.1.3 多重定积分的数值求解 MATLAB提供的dblquad函数用于求二重积分的数值解，triplequad函数用于求三重积分的数值解。函数的调用格式为 dblquad(@fun,a,b,c,d,tol) triplequad(@fun,a,b,c,d,e,f,tol) 其中，fun为被积函数，[a，b]为x的积分区域，[c，d]为y的积分区域，[e，f?]为z的积分区域，参数tol的用法与函数quad完全相同。 例7-5 计算二重定积分（1）建立一个函数文件fxy.m：function f=fxy(x,y)global ki;ki=k