《何坚勇考研线代24讲讲义》.doc

第二章 矩阵Ⅰ mms://202.99.219.217/kaoyan\sx\\ys2002091309.wmv 例2.1 若A、B均是n阶上三角阵，试证AB也是n阶上三角阵。 例2.2 (1) 若A为任一个m×n矩阵，则AAT必是一个对称矩阵； (2) 若A为一个n阶方阵，试证A+AT，A-AT分别为对称阵与反对称阵；(3) 试证任一个n阶方阵A都可表达为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。 例2.3设，n≥2为正整数，求： ，求矩阵B，使AB=BA。 　 例2.5 设A，B均为n阶方阵，且A2=A，B2=B，(A+B)2=A+B，试证AB=0。 例2.6 已知 且AX+I=A2+X，求X。 　 例2.7已知 并且矩阵X满足 AXA+BXB=AXB+BXA+I，求X。 第二章 矩阵Ⅰ(续) mms://202.99.219.217/kaoyan\sx\\ys2002091310.wmv 例2.8 设 又B=(I+A)-1(I-A)，求(I+B)-1= ？ 　 例2.9 设A的伴随矩阵 ，且ABA-1=BA-1+3I，求B。 例2.10 设n阶可逆阵A(n≥3)的伴随矩阵为A*，k≠0、±1，k是常数，求(kA)*。 例2.11 若A为n阶可逆阵，求：(1) (A*)-1；(2) (A-1)*。 例2.12 已知n阶矩阵 ，求|A|中所有元素的代数余子式之和。 例2.13 已知n阶矩阵满足A2+2A-3In=0，求：(1) A-1；(2) (A+2I)-1；(3) （A+4I）-1。 mms://202.99.219.217/kaoyan\sx\\ys2002091801.wmv 例2.14 设 ，矩阵，n为正整数，则 例2.15已知 矩阵的相抵标准形（矩阵的等价）。 mms://202.99.219.217/kaoyan\sx\\ys2002091803.wmv 例2.16 设A是n阶可逆阵，将A的第i行与第j行交换后得到矩阵B。 (1) 证明B是可逆阵 (2) 求AB-1 　 　例2.17 已知矩阵 　 A可逆，则B-1等于 ①A-1P1P2；②P1A-1P2； ③P1P2A-1；④P2A-1P1。 　 例2.18 已知n阶矩阵A，求证存在一个非零的n阶矩阵B (B≠0)使AB=0的充分必要条件为|A|=0。 例2.19设A，B为n阶矩阵，分别为A，B对应的伴随矩阵，分块矩阵 （1）（2） （3）（4） 　 例2.20 设A为n阶可逆阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵 其中A*是矩阵A的伴随矩阵： (1) 计算并化简PQ； (2) 证明Q可逆的充分必要条件是。 例2.21 设Am×n，Bn×m则下列结论正确的是： (1) 当mn时，必有行列式； (2) 当mn时，必有行列式； (3) 当nm时，必有行列式； (4) 当nm时，必有行列式。 例2.22 设n阶矩阵A(n≥3)， 若r(A)=n-1，求a= ? mms://202.99.219.217/kaoyan\sx\\ys2002091808.wmv 例2.23 设Am×n的秩r(A)=m，mn，B为n阶方阵，则下列各式结论中正确的是： (1) A的任一个m阶子式不为0； (2) ； (3) 当AB=0时，必有B=0； (4) 当r(B)=n时，有r(AB)=m。 例2.24 若n阶矩阵A满足A2=A，试证：r(A)+r(A-In)=n。 例2.25 已知Brxr，Crxs，r(c)=r，试证： (1) 若BC=0，则B=0； (2) 若BC=C，则B=Ir。 　 例2.26 已知A*是A的伴随矩阵，A为n阶方阵，试证： 例2.27 设A为n阶矩阵(n≥3)，试证。 　 例2.28 已知，P为三阶非零矩阵，且PQ = 0 ，则下列结论正确的是： （1）t = 6时，P的秩必为1； （2）t = 6时，P的秩必为2； （3）t ≠ 6时，P的秩必为1；（4）t ≠ 6时，P的秩必为2 。 第三章 向量 mms://202.99.219.217/kaoyan\sx\\ys2002091811.wmv 例3.1 设有S个n维向量：，下列结论是否成立，说明理由 (1) 不能由线性表出的充分必要条件是线性无关； (2) 线性无关的充分必要条件是：中两两无关； 线性相关的充分必要条件是：至少可找出一组(s-1)个向量线性相关。 例3.2 已知线性无关，证明线性无关，下列证法是否正确，说明理由。证明：因为线性无关。 则若 (1)只有k1=0，k2=0，k3=0。将(1)式恒等变形为： (2)因为因此线性无关。 例3.3 设向量组线性相关，线性 无关，问：(1) 能否由线性表出？(2) 能否由线性表出？ 例3.4 已知 问：(1) a，b取何值时，β不能由线性表出； (