《华南理工大学《高等数学》（下册）期末试题及答案一》.docx

《高等数学》（下册）测试题一 一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母） 1．设有直线 及平面，则直线（ A ） A．平行于平面； B．在平面上； C．垂直于平面； D．与平面斜交. 2．二元函数在点处（ C ） A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在； C．不连续、偏导数存在； D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝（ B ） A．； B．； C． D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分 ＝（ D ） A．7； B．； C．； D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式（ B ） A．； B．； C．； D．. 二、填空题（每小题3分，本大题共15分） 1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为； 2．设，则＝； 3．设为正向一周，则 0 ； 4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数 ； 5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 . 三、（本题7分）设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解：方程两边取全微分，则 解出 从而 四、（本题7分）已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解： ， 从而 五、（本题8分）计算累次积分 ）. 解：依据上下限知，即分区域为 作图可知，该区域也可以表示为 从而 六、（本题8分）计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解：先二后一比较方便， 七．（本题8分）计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解：由对称性 从而 八、（本题8分）计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上 且连续， 从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取 九、（本题8分）计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧 十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，求． 解： 由已知 即 十一、（本题4分）求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为 非齐次项，与标准式 比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为 代入方程得 十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。 令，则由 推出，的坐标为 附加题：（供学习无穷级数的学生作为测试） 1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 解：由于，该级数不会绝对收敛， 显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛 2．求幂级数的收敛区间及和函数. 解： 从而收敛区间为， 3．将展成以为周期的傅立叶级数. 解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。