《周益春-材料固体力学习题解答习题四.》.doc

第四章 弹性平面问题的习题 习题1、已知悬臂梁如图所示，若梁的正应力由材料力学公式给出，试由平衡方程求出及，并检验该应力分量能否满足从应力分量表示的协调方程？ 解： （1）由材料力学公式求正应力： 而现在 ，解此微分方程得 ，， 其中C1，C0为积分常数由边界条件确定如下： ， 。 。 （2）据弹性力学平衡方程求及 据弹性力学平面问题平衡微分方程，不计体力，即， 得 ， 由积分此式得 ， 用边界条件确定待定函数： ，它也满足。 同时，积分此式得 ， 由边界条件确定待定函数 。故 。 （3）验证应力分量表示的协调方程 现在不计体力，即，应力分量应满足， 即要求 。 而现在 。 故不能满足协调方程。 习题2、如图所示简支梁，承受线性分布载荷，试求应力函数及应力分量（不计体力） 解： （1）选择应力函数 载荷q沿x轴呈线性分布，可断定沿x轴呈线性分布。可令 且有边界条件 故，解此微分方程得 。 这样，应力函数沿x轴的变化规律已定，而待定函数，，只是坐标y的函数。 （2）检验域内方程 把应力函数代入应力协调方程（无体力）得 ， 上式对于任意x均要满足，故x的各次幂的系数为零，即 。 解这些微分方程得 根据应力函数的性质：艾雷应力函数的系数可确定到只差一个线性函数的程度（即艾雷应力函数中的一次函数项并不影响应力分量的大小），可令，于是 （3）检验边界条件，确定待定系数 上下边界为， 据得， 由以上两式分别相加、减得 （a） 又据上下边界中对x为任意值有得 （b） 将（b）中的第1式加、减第3式得 （c） 将（b）中的第3式加、减第4式得 （d） （e） 由（a）式中的第2式和（c）式得 由（e）式得 K=0。由（a）式中的第1式得 根据外力平衡得，其中，解此方程得R1和R2： 在x=0的端面内据得 （f） 由第（d）式和第（f）式得。 由， 由。 综上得： ， 应力函数为。 习题3、已知载荷分布如图所示，即 当周期分别为 （1），如图4-3（b）所示。 （2） ，如图4-3（d）所示，且取x的偶函数。 （3） ，如图4-3（e）所示，且取x的奇函数。 试用傅氏级数写出的表达式，并写出集中载荷情况下的表达式。 解：（1）周期为，如图4-3（b）所示。首先将y轴平移d，于是在新坐标系中， ，将按傅立叶级数展开成 其中 （n=0，1，2，…） （n=1，2，…） 于是 ， ， 。 ， 如图4-3（c）所示，令，且当时，即为集中载荷的情形，那么 （2）设，如图4-3（d）所示，且取x的偶函数。 对原来的载荷进行偶性延拓后按傅立叶级数展开成： ， 其中 （n=0，1，2，…）， 而 （n=1，2，…） 于是，， 令，且当时，即为集中载荷的情形，那么 （3）设，如图4-3（e）所示，且取x的奇函数。 对原来的载荷进行奇性延拓后按傅立叶级数展开成： ， 其中 （n=0，1，2，…）， 而 （n=1，2，…） 于是， ， ，令，且当时，即为集中载荷的情形，那么 。 习题4、连续板墙的中间一段如图所示，试用三角函数形式的应力函数求其应力分量。 解：先将y轴平移l，得新坐标系XoY，在新坐标系XoY下将边界载荷化为三角函数形式的，周期为,其中。 在连续板墙的上边界，即Y=h处，利用第3题中的（2）得两处集中载荷P作用下的 （a） 在连续板墙的下边界，即Y=0处，在两处分布载荷q作用下： ， 其中 （n=0，1，2，…）， 而 （n=1，2，…） 于是 ， ， ， 其中据外力平衡得。 （b） 设三角级数式的应力函数和相应的应力分量为 这些应力分量是满足平衡微分方程和协调方程的。现在利用边界条件确定待定常数。 （1）由于板墙的几何形状及所受载荷均对称与YoZ平面，有 对任何Y值都成立，于是。所以应力函数为 其中。相应的应力分量是： （c） （d）