《圆锥曲线典型例题.》.doc

圆锥曲线典型例题 1 ．（广东省崇雅中学2007-2008学年度第一学期高二期中(理)）已知线段AB=6，直线AM，BM相交于M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程 【解析】：以AB所在直线为x轴，AB垂直平分线为y轴建立如图坐标系则A（-3，0），B（3，0），设点M的坐标为，则直线AM的斜率直线BM的斜率 由已知有 化简，整理得点M的轨迹方程为 2 ．求到两个定点的距离之比等于2的点的轨迹方程 【解析】设为所求轨迹上任一点，则有 3 ．（2009届宁夏省银川一中高三一模理） (1)若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值; (2)设过定点M(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点（　　） A．B,且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点),求直线的斜率的取值范围? 【解析】: (1)易知,, 所以,,设P,则 因为, 故当,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值-2; 当,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值1? 解法二:(1)易知,,, 所以,,设P,则 (以下同解法一)? ∵,即,∴ ② ①②得或? 4 ．（陕西西安市铁一中2010高三文科期末）设椭圆的焦点为，是椭圆上任一点，若的最大值为. (I)求椭圆的离心率； (II)设直线与椭圆交于两点，且与以原点为圆心，短轴长为直径的圆相切。已知的最大值为4，求椭圆的方程和直线的方程。 【解析】5 ．（湖南省长沙市一中09-10学年高二上学期第一次月考（文））一束光线从点出发,经直线上一点反射后,恰好穿过点. (1)求以、为焦点且过点的椭圆的方程; (2)从椭圆上一点M向以短轴为直径的圆引两条切线,切点分别为A．B,直线AB与x轴、y轴分别交 于点P、Q. 求的最小值 【解析】设点关于直线的对称点, 则,解得,∴ ∵,根据椭圆的定义,得===, ∴,,. ∴椭圆的方程为. (2)设,,, 则,切线AM、BM方程分别为,, ∵切线AM、BM都经过点,∴,. ∴直线AB方程为, ∴、, , 当且仅当时,上式等号成立. ∴的最小值为. 6 ．（2009高考(天津理)）以知椭圆的两个焦点分别为,过点的直线与椭圆相交与两点,且? (1)求椭圆的离心率; (2)求直线AB的斜率; (3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线上有一点在的外接圆上,求的值 【解析】(I) 解:由//且,得,从而 整理,得,故离心率 (II) 解:由(I)得,所以椭圆的方程可写为 设直线AB的方程为,即. 由已知设,则它们的坐标满足方程组 消去y整理,得. 依题意, 而 ① ② 由题设知,点B为线段AE的中点,所以 ③ 联立①③解得, 将代入②中,解得. (III)解法一:由(II)可知 当时,得,由已知得. 线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴 的交点是外接圆的圆心,因此外接圆的方程为. 直线的方程为,于是点H(m,n)的坐标满足方程组 , 由解得故 当时,同理可得. 解法二:由(II)可知 当时,得,由已知得 由椭圆的对称性可知B,,C三点共线,因为点H(m,n)在的外接圆上, 且,所以四边形为等腰梯形. 由直线的方程为,知点H的坐标为. 因为,所以,解得m=c(舍),或. 则,所以. 当时同理可得 7 ．（2009高考(广东文)）已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和的距离之和为12.圆:的圆心为点. (1)求椭圆G的方程 (2)求的面积 (3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由. 【解析】（1）设椭圆G的方程为： （）半焦距为c; 则 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2 )点的坐标为 （3）若，由可知点（6，0）在圆外， 若，由可知点（-6，0）在圆外； 不论K为何值圆都不能包围椭圆G. 8 ．（广东省广州市2009年普通高中毕业班综合测试(二模)文）已知椭圆:的离心率,且经过点. (1)求椭圆的方程; (2)设是椭圆的左焦点,判断以为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系,并说明理由. 【解析】(1)∵椭圆的离心率为,且