《平面向量的坐标运算、线段的定比分点·典型例题精析.》.doc

本资料来源于《七彩教育网》 平面向量的坐标运算、线段的定比分点·典型例题精析 ? 例1　 平面内有三个已知点A(1，－2)，B(7，0)，C(－5，6)，求 ， ， ＋ ， － ，2 ＋ ， －3 ． 【分析】　 本题涉及向量的坐标表示、向量的加法、减法、实数与向量的积的坐标运算，均需正确掌握其运算法则． 【解】∵A(1，－2)，B(7，0)，C(－5，6)， ∴ =(7－1，0＋2)=(6，2)， ＝(－5－1，6＋2)=(－6，8)， ＋ ＝(6－6，2＋8)＝(0，10)， － =(6＋6，2－8)＝(12，－6)， 或　 － = =(7＋5，0－6)=(12，－6)． =(12，4)＋(－3，4)＝(9，8)． －3 =(6，2)－3(－6，8) =(6，2)－(－18，24) ＝(6＋18，2－24) =(24，－22)， 或　 －3 =(6，2)－3(－6，8) ＝(6，2)＋(18，－24) ＝(6＋18，2－24) =(24，－22)． 例2　 用坐标法证明 ＋ ＋ ＝0． 【证明】　 设A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)，则 =(b1－a1，b2－a2)， =(c1－b1，c2－b2)， =(a1－c1，a2－c2)， ∴ ＋ ＋ =(b1－a1，b2－a2)＋(c1－b1，c2－b2) ＋(a1－c1，a2－c2) =(b1－a1＋c1－b1＋a1－c1，b2－a2＋c2 －b2＋a2－c2) =(0，0)． ∴ ＋ ＋ =0． 【说明】　 这个证明过程完全是三个点坐标的计算，无需考虑三个点A，B，C是共线还是不共线的位置关系．同时，对这个结论的更一般形式，即几个向量顺次首尾相接，组成一条封闭的折线，其和为零向量，也就不难理解了： 例3　 已知M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)，且 ∥ ，求y的值． 【分析】　 先由已知点坐标分别求出向量 及 的坐标，再由向量平行的充要条件求解y． 【解法一】　 利用向量平行充要条件的坐标表达式． ∵M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)， ∴ ＝(－1，1)， =(－1，y－1)， ∵ ∥ ， ∴(－1)×(y－1)－1×(－1)＝0． 解得　 y=2． 【解法二】　 利用向量共线的定理． 由已知 ∥ ，故有且仅有一个实数λ，使 =λ ． ∵M(1，0)，N(0，1)，P(2，1)，Q(1，y)． ∴ ＝(－1，1)， =(－1，y－1)， ∴(－1，y－1)=λ(－1，1)， (－1，y－1)=(－λ，λ)． 解得　 λ＝1，y＝2． ∴y=2． 例4　 已知△ABC的三个顶点的坐标为A(0，0)，B(4，0)，C(3，6)，边AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，且△ABC的重心为G，求： 【分析】　 解此题可首先利用中点坐标公式分别求得各边中点D，E，F的坐标，再利用三角形重心G的坐标公式求得G的坐标，最后利用平面向量坐标表示及运算法则计算所求的向量． 【解】∵　 A(0，0)，B(4，0)，C(3，6)，且D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，G为△ABC的重心， 【说明】　 本题中的(3)，(4)具有一般性，我们将在例5中作一般结论的推证，另外结论(3)与(4)本身有着必然的联系，因为G为△ABC的 例5　 如图5－2－2，在△ABC中，D，E，F分别为AB， 【证明】　 必要性． 充分性． 即　 (m－k) ＋(l＋m) ＝0． 由于 与 是不共线的，故m－k=0，且l＝m＝0， ∴m＝k＝l． 更为简捷： 例6　 如图5－2－3，在△ABC中，D，E，F分别为边BC， 【分析】　 要证△ABC与△DEF的重心相同，实际上是证表示重心的两点重合，一种方法是利用向量相等，另一种方法是证明两个重心的坐标相同． 【证法一】设△ABC的重心为G，△DEF的重心为G′，且设 则对于平面内的任意一点O，有 ∴G与G′重合． 故△ABC与△DEF的重心相同． 【证法二】　 设△ABC三点的坐标分别为A(a1，a2)，B(b1，b2)，C(c1，c2)，其重心G的坐标为(g1，g2)．△DEF三个顶点的坐标分别为D(d1，d2)，E(e1，e2)，F(f1，f`2)，其重心G′的坐标为(g′1，g′2)，则 同理d2＋e2＋f2=a2＋b2＋c2． ∴G与G′重合． 故△ABC与△DEF的重心相同． 【证法三】利用例5的结论． 设G为△ABC的重心，则 设G′为△DEF的重心，则 据例5的结论，可知 ∴△ABC与△DEF的重心相同． 【说明】　 证法一使用的是线段定比分点的向量式．证法二使用的是线段定比分点的坐标公式．而证法三，利用了三角形中两个重要的结论：G为△ABC重心 ＋ ＋ =0； CA，AB上的点)． 例7