《量子力学习题解答-第1章.》.doc

第1章 波函数 本章主要内容概要： 1. 薛定谔方程：微观粒子的状态由一个波函数描写，这个波函数通过解薛定谔(Schr?dinger)方程得到： （一维情况） （三维情况） 是普朗克(Planck)常数－或者最初的常数（）除以： 薛定谔方程的作用和地位从逻辑上讲就像牛顿第二定律:给定适当的初始条件(一般来说,),薛定谔方程确定以后所有时刻的波函数,就像经典力学中牛顿定律确定以后所有时刻的一样。 2 波函数的统计解诠释：玻恩（Born）关于波函数的统计诠释给出，当一个微观粒子处于状态时，在时刻处的体积内发现这个粒子的几率为 所以，是几率密度，它给出在时刻处的单位体积内发现粒子的几率。由于是几率密度，物理上的波函数必须满足归一化条件 物理上的波函数还需满足连续，单值条件。 3. 力学量的期待值、标准差： 对一个系综（对大量相同的态每一个进行测量）测量的统计平均值（期待值）是 标准差是 4. 测量对波函数的影响： 给定初始波函数，体系的波函数将按薛定谔方程演化，但是如果对体系进行测量将导致波函数的坍塌。对坐标进行测量，如果测量结果是，波函数将坍塌为处的一个尖峰。 习题1.4 解：（a） 所以 （不考虑可能的相因子，以后都是如此） （b）的示意图如下图所示： （c） 在处，有最大值，所以在此处发现粒子的几率最大。 （d） 当时，在b左边发现粒子的几率是1；当时，发现粒子的几率是1/2. (e) 习题1.7 解： 利用薛定谔方程 并代入 对第一项分部积分两次，并利用边界项条件（时，波函数及导数为零）所以前面两项相互抵消，最后有 这是量子力学中牛顿运动方程。 （在学习第三章后，我们有更简洁的方法处理本题。 利用哈密顿算符与动量算符的对易关系 所以 ） *习题1.9 解：（a）由归一化 （b）在第二章，我们将讨论一维谐振子，你将发现势能会得到这样的波函数解。不过现在我们打算直接从薛定谔方程 得到对应的势能。把所给的波函数代入薛定谔方程，经过对t和x的求导运算后，得到 两边消去相同的项后，我们得到 （顺便提及一下，如果让。则，所给的波函数其实就是一维谐振子的基态，对应的基态能量是，你将在第二章看到这些结果。） （c） （被积函数是的奇函数） （d） 这刚好是不确定原理的下限。 习题1.14 解：（a）由波函数的统计诠释，在时刻发现粒子处在区间内的几率是 求这个几率对时间的变化率 代入薛定谔方程 及其共轭式 把对时间的导数转换为对坐标的导数 注意到方括号内的式子可以表示为 所以 的量纲为的量纲， 在一维情况下（的量纲为（长度-1）），的量纲是（秒-1），它表示在单位时间流过点x的几率密度。在三维情况下的量纲是（长度-3），是一个矢量，它的量纲是（米-2秒-1），表示单位时间流过垂直于单位面积的几率。 （b）习题1.9中的波函数为 代入一维几率流的表示式 我们会发现，这是因为，对空间的依赖是实函数，两项相互抵消。 **习题1.15 解：（a）由 代入薛定谔方程 及其共轭式 把对时间的导数转换为对坐标的导数