概率论与数理统计习题答案-修订版-复旦大学.doc

概率论与数理统计习题及答案 习题 一 1．略.见教材习题参考答案. 2.设A，B，C为三个事件，试用A，B，C的运算关系式表示下列事件： （1） A发生，B，C都不发生； （2） A与B发生，C不发生； （3） A，B，C都发生； （4） A，B，C至少有一个发生； （5） A，B，C都不发生； （6） A，B，C不都发生； （7） A，B，C至多有2个发生； （8） A，B，C至少有2个发生. 【解】（1） A （2） AB （3） ABC （4） A∪B∪C=C∪B∪A∪BC∪AC∪AB∪ABC= (5) = (6) (7) BC∪AC∪AB∪C∪A∪B∪==∪∪ (8) AB∪BC∪CA=AB∪AC∪BC∪ABC 3.略.见教材习题参考答案 4.设A，B为随机事件，且P（A）=0.7,P(A?B)=0.3，求P（）. 【解】 P（）=1?P（AB）=1?[P(A)?P(A?B)] =1?[0.7?0.3]=0.6 5.设A，B是两事件，且P（A）=0.6,P(B)=0.7,求： （1） 在什么条件下P（AB）取到最大值？ （2） 在什么条件下P（AB）取到最小值？ 【解】（1） 当AB=A时，P（AB）取到最大值为0.6. （2） 当A∪B=Ω时，P（AB）取到最小值为0.3. 6.设A，B，C为三事件，且P（A）=P（B）=1/4，P（C）=1/3且P（AB）=P（BC）=0，P（AC）=1/12，求A，B，C至少有一事件发生的概率. 【解】 P（A∪B∪C）=P(A)+P(B)+P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)+P(ABC) =++?= 23.设P（）=0.3,P(B)=0.4,P(A)=0.5，求P（B｜A∪） 【解】 33.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为，，，求将此密码破译出的概率. 【解】 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则 34.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A={飞机被击落}，Bi={恰有i人击中飞机}，i=0,1,2,3 由全概率公式，得 =(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+ (0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458 . 习题二 1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】 故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6 2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律； （2） X的分布函数并作图； (3) . 【解】 故X的分布律为 X 0 1 2 P （2） 当x0时，F（x）=P（X≤x）=0 当0≤x1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)= 当1≤x2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)= 当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数 (3) 3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3. 故X的分布律为 X 0 1 2 3 P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数 4.（1） 设随机变量X的分布律为 P{X=k}=， 其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a. （2） 设随机变量X的分布律为 P{X=k}=a/N， k=1，2，…，N， 试确定常数a. 【解】（1） 由分布律的性质知 故 (2) 由分布律的性质知 即 . 5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1） 两人投中次数相等的概率; （2） 甲比乙投中次数多的概率. 【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7) (1) + (2