----静电场及其边值问题的解法--.ppt

因为r2l, 故将r1、r2用二项式定理展开, 并略去高阶小项, 得 所以 取矢量 , 其大小等于乘积q2l, 方向由-q指向+q, 该矢量称为电偶极子的电矩, 单位C·m, 简称偶极矩, 即 于是得到 偶极子的电场强度可在球坐标系中对上式求梯度得到 等位线 电场线 电偶极子的场图 x y z L -L 解： 采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与? 无关。 在带电线上位于 处的线元 ，它 到点 的距离 ， 则 例.3 求长度为2L、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。 在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为 当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有 并选择有限远处为电位参考点。例如，选择ρ= a 的点为电位参 考点，则有 例 4 设有两条电荷均匀分布的无限长直线电荷, 线电荷密度分别为±ρl(C/m), 二者相距d(m), 如图2 - B所示。试求空间任意点P(x, y)的电位。 图 两无限长平行直线的电位 先求+ρl在P点产生的电位 同理可求得-ρl在P点产生的电位φ-, 积分路径如图中虚线所示, 故 应用叠加原理, P点的电位应是 上式中的ρ+和ρ-分别表示观察点到+ρl和-ρl的垂直距离。当参考点选在两线电荷连线的中点, 即 处, 则得 如果用直角坐标, 并以原点O为参考点, 则P点的电位可表示为 一维电位方程的求解 在均匀介质中，有 电位的微分方程 在无源区域， 标量泊松方程 拉普拉斯方程 例 1 设有一个半径为a的球体, 其中均匀充满体电荷密度为ρv(C/m3)的电荷, 球内外的介电常数均为ε0,试用电位微分方程, 求解球内、外的电位和电场强度。 解：设球内、外的电位分别为φ1和φ2, φ1满足泊松方程, φ2满足拉普拉斯方程, 由于电荷均匀分布, 场球对称, 所以φ1、 φ2均是球坐标r的函数。 ; (1) 分别列出球内、外的电位方程: 当r≤a时, 当r≥a时, 将上述两个方程分别积分两次可得φ1、φ2的通解: (2) 根据边界条件, 求出积分常数A、B、C、D: 边界条件是: ; ①r=a, φ1=φ2; ; ②r=a, ③r→∞, φ2=0(以无限远处为参考点); ; ④r=0, (因为电荷分布球对称, 球心处场强E1=0, 即Er=0)。 由上述条件, 确定通解中的常数: 例 2 如图所示三个区域, 它们的介电常数均为ε0, 区域2中的厚度为d(m), 其中充满体电荷密度为ρv(C/m3)的均匀体电荷, 分界面为无限大。试分别求解①、②、③区域的位函数与电场强度。 平板形体电荷的几何关系 ［解］设①、 ②、 ③区域的电位函数分别为φ1(y)、φ2(y)、 φ3(y)。 (1) 分别列出三个区域的电位方程。 在①、 ③两个区域内电位满足拉普拉斯方程, 而第②区域的电位满足泊松方程: 将上面三个方程分别分两次可得 由场分布的y=0平面对称性，可知φ3(y)= φ1(-y)，所以我们只需求解φ1和φ2，也就是只要根据边界条件确定常数C1、 C2 、 C3 、 C4。 (2) 由边界条件确定常数: 边界条件为: ① 时, φ1=φ2; (交界面上无自由面电荷); ②y=0, φ2=0 因体电荷板无限大, 不能选择无限远处为参考点, 这里选择y=0处为参考点。 ③由场分布的对称性, φ2(y)=φ2(-y) ; 由条件②、 ③可得: 由条件①可得 根据公式 可求得三个区域的电场分布: 电磁场 第3章 静电场及其边值问题的解法 第3章 静态电磁场及其边值问题的解 电磁场与电磁波 电子科技大学编写 高等教育出版社 高等教育电子音像出版社 出版 麦克斯韦方程组 时变场 静态场 缓变场 迅变场 电磁场 (EM) 准静电场 (EQS) 准静磁场 (MQS) 静磁场