-复数与复平面.ppt

复变函数论（Theory of Complex Variable Functions），又称复分析（Complex Analysis），产生于十八世纪，欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等数学家都为创建这门学科作出许多基础性的研究工作。十九世纪，复变函数理论得到了全面发展，三位杰出的数学家Cauchy、Weierstrass和Riemann等为这门学科的发展作了大量奠基性工作。复变函数论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且成为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。二十世纪初，复变函数理论又有了很大的进展，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了重要贡献。我国老一辈数学家在复变函数理论的研究中也做出了重要的贡献，著名数学家华罗庚、陈建功、 杨乐等，他们在国际数学界也享有很高的声誉。 ??? 复变函数理论发展到今天已经有一百多年的历史，是一门相当成熟的学科，它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科。更重要的是，它在其他学科得到了广泛的应用，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就采用复变函数理论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复变函数论（Theory of Complex Variable Functions），又称复分析（Complex Analysis），产生于十八世纪，欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等数学家都为创建这门学科作出许多基础性的研究工作。十九世纪，复变函数理论得到了全面发展，三位杰出的数学家Cauchy、Weierstrass和Riemann等为这门学科的发展作了大量奠基性工作。复变函数论这个新的数学分支统治了十九世纪的数学，当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且成为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。二十世纪初，复变函数理论又有了很大的进展，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了重要贡献。我国老一辈数学家在复变函数理论的研究中也做出了重要的贡献，著名数学家华罗庚、陈建功、 杨乐等，他们在国际数学界也享有很高的声誉。 ??? 复变函数理论发展到今天已经有一百多年的历史，是一门相当成熟的学科，它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科。更重要的是，它在其他学科得到了广泛的应用，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就采用复变函数理论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。 复数的运算满足加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律。 共轭复数的性质 定义 若z=x + iy , 称?z=x - iy 为z 的共轭复数. (conjugate) 3. 共轭复数 解： §2 复数的几何表示 1. 点的表示 横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一般称为z-平面，w-平面等。 2. 向量表示法 o x y (z) P(x,y) x y ? z=0时，幅角无意义。 幅角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z， 当z落于一,四象限时，不变。 当z落于第二象限时，加p。 当z落于第三象限时，减p . 根据向量的运算及几何知识，我们可以得到两个重要的不等式 o x y (z) z1 z2 z1+z2 o x y (z) z1 z2 z2- z1 3. 三角表示法 可以用复数的模与辐角来表示非零复数z 4. 指数表示法 y o x O N z P 4. 复球面与无穷远点 球极平面射影法 取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。 对于平面上的任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。 从几何上可以看出： z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈; N 这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点z的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N。 规定 无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义 例1 例2 例3 例1 解： 例2 解： 例2 解： 例3 证明： －理学院信息与计算科学系－ －理学院信息与计算科学系－ －理学院信息与计算科学系－ －理学院信息与计算科学系－ －理学院信息与计算科