“杨辉三角”与二次项系数的性质.ppt

1.3.2 “杨辉三角”与二次项系数的性质 * * * 一般地，对于n N*有 二项定理: 新课引入 二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？ 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？ 1 6 15 20 15 6 1 (a+b)1 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)2 (a+b)6 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 (a+b)n Cn0 Cn1 Cn2 Cnr Cnn … … 表中的每一个数等于它肩上的两数的和 这个表叫做二项式系数表,也称“杨辉三角” 你发现了什么规律？ 类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的 杨辉三角 《九章算术》 杨辉 《详解九章算法》中记载的表 本积 平方 立方 三乘 四乘 五乘 商实 二项式系数的函数观点 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当n=6时，其图象是7个孤立点 定义域{0,1,2, … ,n} 二项式系数的性质 （1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 得到． 图象的对称轴： 2、若（a+b）n的展开式中，第三项的二项式系数与 第五项的二项式系数相等， 课堂练习 1、在(a＋b)６展开式中，与倒数第三项二项式系数相等是( ) A 第２项 B 第３项 C 第４项 D 第５项 则n=__________ B 6 请问:一般地,当k满足什么范围时，后一项Cnk比前一项Cnk-1要大? [分析]:以上问题即Cnk Cnk-1时，求k的范围? 二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 由于： 所以 相对于 的增减情况由 决定． 二项式系数逐渐增大,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,中间项的取值最大. 二项式系数的性质 （2）增减性与最大值 先增后减 n是偶数时，中间的一项（第 项）的二项式系数 取得最大值 ； 当n是奇数时，中间的两项 （第 项）的二项式 系数 和 相等，且同时取 得最大值。 1 6 15 20 15 6 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1.在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为 ； 在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为 . 2.（x-2)9的展开式中，第6项的二项式系数 是（ ） A.4032 B.-4032 C.126 D.-126 C 4.在二项式(x-1)11的展开式中,求系数最小的项的系数。 最大的系数呢？ 课堂练习 3.指出（a+2b）15的展开式中哪些项的二项式系数最大，并求出其最大的二项式系数 最大。 解: 第8、9项的二项式系数 即6435最大。 二项式系数的性质 （3）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于： 同时由于 ，上式还可以写成： 这是组合总数公式． 赋值法 例1、证明：在(a＋b)n展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. 即证： ＝２n-1 证明 令a=1,b=-1得 特例法 赋值法 求奇数(次)项偶数(次)项系数的和 (1) (2) *