解析几何_圆锥曲线的概念及其性质.docVIP

4.2　解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽)双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为(　　) A. B. C. D．(，0) 解析：原方程可化为－＝1，a2＝1， b2＝，c2＝a2＋b2＝， 右焦点为. 答案：C 2．(2010·天津)已知双曲线－＝1(a0，b0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：渐近线方程是y＝x，＝. ∵双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上， c＝6. 又c2＝a2＋b2， 由知，a2＝9，b2＝27， 此双曲线方程为－＝1. 答案：B 4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝(　　) A．4 B．8 C．8 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－(x－2)， 当x＝－2时，y＝4，A(－2,4)． 当y＝4时代入y2＝8x中，x＝6， P(6,4)， |PF|＝|PA|＝6－(－2)＝8.故选B. 解法二：PA⊥l，PA∥x轴． 又AFO＝60°，FAP＝60°， 又由抛物线定义知PA＝PF， PAF为等边三角形． 又在RtAFF′中，FF′＝4， FA＝8，PA＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为(　　) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于BPA＝DPC，则RtABP∽Rt△CDP，＝，从而PC＝2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2)，则A(－5,0)，C(5,0)，设P(x，y)，得＝2 化简得x2＋y2＋x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆． 答案：A 二、填空题 解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则cbc2b2＝a2－c2e2，又e∈(0,1)，所以e. 答案： 7．(2010·浙江)设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，点A(0，2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________． 解析：F，则B， 2p×＝1，解得p＝. B，因此B到该抛物线的准线的距离为＋＝. 答案： 8．(2010·北京)已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________． 解析：椭圆＋＝1的焦点为(±4,0)，双曲线的焦点坐标为(±4,0)， c＝4，＝2，c2＝a2＋b2， a＝2，b2＝12， 双曲线方程为－＝1， 渐近线方程为y＝±x＝±x， 即x±y＝0. 答案：(±4,0)　x±y＝0即xD＝，由椭圆的第二定义得|FD|＝e＝a－.又由|BF|＝2|FD|，得a＝2a－，整理得a2＝3c2， 即e2＝，解得e＝. 答案： 三、解答题 10．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程． 解：解法一：设椭圆的标准方程是＋＝1(ab0)或＋＝1(ab0)，两个焦点分别为F1、F2，则由题意，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，a＝.在方程＋＝1中，令x＝±c，得|y|＝.在方程＋＝1中，令y＝±c，得|x|＝.依题意知＝，b2＝.即椭圆的方程为＋＝1或＋＝1. 解法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2， 则|PF1|＝，|PF2|＝. 由椭圆的定义，知2a＝|PF1|＋|PF2|＝2，即a＝. 由|PF1||PF2|知，PF2垂直于长轴． 故在RtPF2F1中，4c2＝|PF1|2－|PF2|2＝， c2＝，于是b2＝a2－c2＝. 又所求的椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1. 11．(2010·湖北)已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1. (1)求曲线C的方程； (2)是否存在正数m，对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A、B的任一直线，都有·0？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：(1)设P(x，y)是曲线C上任意一点，那么点P(x，y)满足－x＝1(x0)，化简得y2＝4x(x0)． (2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)． 设l的方程为x＝ty＋m，由得 y2－4ty－4m＝0， Δ＝16(t2＋m)0，于是 又＝(