导数和函数性质.ppt

第六讲 导数和函数性质 构造法 在利用导数研究函数的性质，证明不等式等解题过程中，常常要构造函数，构造方程等来促成问题的解决． [例1]　已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，求a的取值范围． 解析：f ′(x)＝3ax2＋6x－1. ∵f(x)是R上的减函数．∴f ′(x)≤0恒成立． 即3ax2＋6x－1≤0在x∈R上恒成立， ∴a0且Δ＝36＋12a≤0，∴a≤－3. 点评：此类问题的易错点是a＝－3时，该函数也是R上的减函数，符合题目要求，好多学生在解此类问题时，往往丢掉等号． 函数y＝x3＋ax＋b在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则 (　　) A．a＝1，b＝1　　　　　 B．a＝1，b∈R C．a＝－3，b＝3 D．a＝－3，b∈R 解析：f ′(x)＝3x2＋a，由条件f ′(1)＝0， ∴a＝－3，b∈R. 答案：D 答案：A (文)函数y＝xcosx－sinx,0x2π的单调减区间为________． 解析：y′＝cosx＋x(－sinx)－cosx＝－xsinx， 当x∈(0，π)时，y′0，当x∈(π，2π)时，y′0. ∴此函数的单调减区间是(0，π]． 答案：(0，π] (理)(09·广东)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是 (　　) A．(－∞，2) B．(0,3) C．(1,4) D．(2，＋∞) 解析：f ′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)， 由f ′(x)0得，x2. ∴f(x)在(2，＋∞)上是增函数． 答案：D [例3]　已知函数f(x)＝－x3＋6x2－9x＋m. (1)求f(x)的单调递增区间． (2)若f(x)在区间[0,4]上的最小值为2，求它在该区间上的最大值． 解析：(1)f ′(x)＝－3x2＋12x－9＝－3(x－1)(x－3)，由f ′(x)0得，1x3. ∴f(x)在区间(1,3)上单调递增． (2)由f ′(x)0得x1或x3， ∴f(x)在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，在[3,4]上单调递减，f(0)＝m，f(1)＝m－4，f(3)＝m，f(4)＝m－4，且m－4m，∴m－4＝2，∴m＝6， ∴f(x)在[3,4]上的最大值为m＝6. 答案：3 [例4]　设f ′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f ′(x)的图象如右图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是 (　　) 分析：由导函数f ′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解． 解析：由f ′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f ′(x)0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f ′(x)0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f ′(x)0，f(x)为增函数． 只有C符合题意，故选C. 答案：C 下图是函数y＝f(x)的导函数y＝f ′(x)的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间(－2,1)内f(x)是增函数； ②在区间(1,3)内f(x)是减函数； ③x＝2时，f(x)取到极大值； ④在x＝3时，f(x)取到极小值． 其中正确的是________(将你认为正确的序号填在横线上)． 答案：③ 答案：D (理)设a为实数，函数f(x)＝x3－ax2＋(a2－1)x在(－∞，0)和(1，＋∞)上都是增函数，则a的取值范围是________． 解析：f ′(x)＝3x2－2ax＋(a2－1)， 其判别式Δ＝12－8a2. [例6]　函数f(x)是定义在[－1,0)∪(0,1]上的偶函数，当x∈[－1,0)时，f(x)＝x3－ax　(a∈R)． (1)当x∈(0,1]时，求f(x)的解析式； (2)若a3，试判断f(x)在(0,1]上的单调性，并证明你的结论； (3)是否存在实数a，使得当x∈(0,1]时，f(x)有最大值－1? 分析：先用转化的方法求出f(x)在(0,1]上的解析式，然后求其导数f ′(x)，判断f ′(x)的符号得出其单调性，再结合单调性讨论其最值的存在性，判断能否取得最大值－1. 解析：(1)当x∈(0,1]时，－x∈[－1,0)， f(－x)＝－x3＋ax， ∵函数f(x)是偶函数， ∴f(x)＝－x3＋ax　(x∈(0,1])． (2)f ′(x)＝－3x2＋a， ∵x∈(0,1]，∴－3x2∈[－3,0)， 又∵a3，∴－3x2＋a0. 即f ′(x)0，∴f(x)在(0,1]上是增函数． 已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0. (1)函数y＝f(x)的解