概率论与数理统计李云龙 3.1 随机变量及其分布新.pptVIP

练习：判别下列函数是否为某R.V.的分布函数？ * * 第三章 随机变量及其分布 3.1.随机变量及其分布 3.2.离散型随机变量 3.3.连续型随机变量 3.4.随机变量函数的分布 在有些随机试验中，试验的结果本身就是用数量来表示。例如抛掷一枚骰子，观察出现的点数，点数可以用实数1,2,3,4,5,6表示。 3.1.随机变量及其分布 在某些试验中，试验结果看起来虽然与数量无关，但 可以指定一个数量来表示。 例如抛掷一枚硬币，观察正反面出现情况，规定 “出现正面”用数1表示,“出现反面”用数0表示。 定义 设E为一个随机试验,S是其样本空间,称定义在 样本空间S上的实值单值函数X=X(w)为随机变量. 一、随机变量 随机变量的引入,将随机试验的结果与实数对应起来. 2. 抛掷一枚硬币,观察正反面出现情况； 3. 从一批产品中,依次任选三件,记录出现正品的件数； 你还记得以下这些随机试验吗？ 1. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数； 4. 记录某公共汽车站某日上午某时刻等车人数。 注： (1)由于随机事件的发生是不确定的,所以随机变量的取值也是不确定的. 但随机变量的可能取值是确定的 (2)任何随机事件都可以用随机变量来表示。 随机变量取某个值或某些值均表示随机事件。 例如，从一批产品中,依次任选三件,X表示出现正品的件数，X的所有可能取值有哪些。 例如{X=a} , {Yb} , {cZ≤d} 均表示随机事件。 例1：将一枚硬币连续抛掷3次，X表示试验中正面出现的次数,用随机变量X表示随机事件,求正面出现 i 次的概率。 2.随机事件的概率： P(X=0)=0.125;P(X=1)=0.375; P(X=2)=0.375;P(X=3)=0.125. 解：1.X的所有可能取值为0,1,2,3. 随机事件的表示： {X=0}={TTT}; {X=1}={HTT,THT,TTH} {X=2}={HHT,HTH,THH};{X=3}={HHH} （2）袋中装有5个球,编号为1,2,3,4,5,从中任 取3个,Y表示3个球中的最小号码,求Y的所有 可能取值,用随机变量Y表示随机事件。 （1）袋中有2个黑球6个红球,从中任取2个, X表示取到的红球个数,求X的所有可能取值, 用随机变量X表示随机事件。 练习 设X 是随机变量,x为任意实数,称函数 为X 的分布函数,记作 F(x) 或 FX(x)。 注：如果将X 看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数 F(x) 在x处的函数的值表示X落在区间 的累积概率。 随机点 1.分布函数定义 实数点 二、分布函数 例1续：将一枚硬币连续抛掷3次,X表示出现正面的次数，求(1)X的分布函数;(2) P(0X ≤1) ,P(1≤X≤2) 。 解：1.X的所有可能取值为0,1,2,3. 2.X在各取值点处的概率值： P(X=0)=0.125; P(X=1)=0.375; P(X=2)=0.375; P(X=3)=0.125. 3.X的分布函数为 x y O 1 0.875 0.5 0.125 1 2 3 y=F(x) 2.单调不减性：F(x)是单调不减函数。 即对任意实数x1,x2 (x1x2),有 F(x1)≤ F(x2) 。 3.右连续性:F(x)至多有可列个间断点,且在其间断点 处是右连续,即F(x+0)=F(x)。 且F(-∞)=0,F(+∞)=1。 1.非负性: 0≤F(x)≤1； 2、分布函数的性质 性质1--3是鉴别一个函数是否为某随机变量分布函数的充分必要条件。 所以以上三类事件的概率问题均可以转化为求解事件 {X≤x} 的概率 在很多情况下，我们需要研究随机变量所取的值落在一个区间的概率，例如 由事件的可分性知： 3、分布函数的引入目的 分布函数 4.分布函数的应用※ a,b为常数 * * *