概率论与数理统计李云龙 4.1 二维随机变量及其分布新.pptVIP

第四章 二维随机变量及其分布 1．定义： 设X1(ω),…,Xn(ω)为定义在概率空间(Ω,F,P)上的随机变量,由它们构成的一个向量(X1, …,Xn)叫做n维随机变量或n维随机向量。  定义：若对任意xk∈R,k=1,2,…n,称ｎ元函数 (3) 二维随机向量(X,Y)可以看成平面上随机点的坐标。则(X,Y)分布函数F(x,y)=P{Xx,Yy}在(X,Y)处的函数值就是随机点(x,y)落在如图所示的以点(x,y)为顶点而位于该点左下方的无穷矩形闭区域上的概率。 (1).F(x,y)是变量x 和y的不减函数,即对于任意固定的y, 当x2x1时，F(x2,y)≥F(x1,y)；对于任意固定的x,当y2y1时，F(x,y2)≥F(x,y1)且 0≤F(x,y)≤1。 因为{X≤x1,Y≤y}?{X≤x2,Y≤y}. (2). 对于任意固定的y, F(-∞,y)=0；  对于任意固定的x, F(x,+∞)=0； F(-∞,-∞)=0，F(+∞,+∞)=1。 证：只证F(-∞,y)=0。因为  0≤P{X≤x,Y≤ y}≤P{X≤ x,Y+∞}, 所以0≤F(x, y)≤FX(x),令x →-∞,于是F( -∞)=0。 (3).F(x, y)=F(x +0, y), F(x, y)=F(x, y +0), 即F(x, y)关于x右连续,关于y也右连续. 证：只证F(x, y)=F(x +0, y)。 因为F(x +△x, y)= F(x, y)+P{x X≤ x +△x,Y≤ y}, 而P{x X≤ x +△ x,Y≤ y}≤FX(x +△ x) - FX(x)→0 (△ x →0). (4).对于任意(x1, y1),(x2, y2)， x1x 2, y1 y2, 下述不等式成立: F(x2,y2)-F(x2, y1)-F(x1,y2)+F(x1, y1)≥0, 事实上，因为P{x1X x2, y1Y y2}= F(x2, y2)-F(x2, y1)-F(x1, y2)+F(x1, y1)≥0,如图 * 第一节 二维随机变量及其分布 第二节 二维离散型随机变量 第三节 二维连续型随机变量 第四节 随机变量的独立性 第五节 随机变量函数的分布 对于多维随机变量, 需要考虑①n维随机变量作为一个整体的概率分布或称联合分布； ②还要研究每个分量的概率分布； ③并且还要考察各分量之间的联系。 一、多维随机变量的定义 第一节 二维随机变量及其分布 为随机向量(X1, …,Xn)的(联合)分布函数。 注释 (1) 事件{X1≤x1, …,Xn≤xn}是n个事件{Xk≤xk}同时发生的概率，故称为联合分布函数。 (2) F(x1,x2,…,xn)是普通的n元函数，这样，我们就把对随机向量的研究转化为对普通n元函数的研究。 二、多维随机变量的分布函数 2.二维分布函数的性质 故所证结论成立。 0 x1 x2 x y1 y2 y 在线教务辅导网： 更多课程配套课件资源请访问在线教务辅导网 在线教务辅导网： 更多课程配套课件资源请访问在线教务辅导网 * * * (X1, …,Xn)的取值范围,一般说来是n维欧氏空间或它的一部分。首先，考察n维随机变量作为一个整体的概率分布，和一维的情况类似,我们也借助于”分布函数”来研究 下面我们主要讨论二维随机向量(X,Y),对于n维情形,不难推广。 注释  任何一个满足这4条性质的二元函数F(x,y)都可以是某个二维随机变量的分布函数。分布函数F(x,y)完整地描述了二维随机向量的概率分布。