概率论与数理统计李云龙 4.5 二维随机变量函数的分布新.ppt

第五节 二维随机变量的函数的分布 引言 问题的一般提法为:(X1,…,Xn)为n维随机变量,Y1,…,Ym都是X1,…,Xn的函数 yi=gi(x1, x2,…, xn), i=1,2,···,m；要求(Y1,…,Ym)的概率分布. 设(X,Y)为二维随机变量,讨论 (1)X,Y的一个函数Z=g(X,Y)的分布(X,Y)经变换后为一维随机变量), (2)简单地介绍二维向量(X,Y)到二维向量(Z1,Z2)(zi=gi(x,y),i=1,2)变换问题。 一、离散型随机变量函数分布 我们可以从下面两个例子中总结出一般的方法。 例1: 设(X,Y)的分布律为 解: (1) V=Max(X,Y)可能取值为：0，1，2，3，4，5。 例2: 设X和Y独立,分别服从二项分布b(n1,p), 和b(n2,p)(注意两个二项分布中p是一样的),求Z=X+Y的分布律. 解: Z的可能取值为0,1,…, n1+ n2，固定k于上述范围内,由独立性有 可见，Z～b(n1+n2,p). 这个结果很容易推广至多个的情形:若Xi~b(ni,p),i=1,2,…,m,且X1,…,Xm独立,则X1+X2+…+Xm～b(n1+n2+…+nm,p)。 直观上，按二项分布的定义,若Xi～b(ni,p),则Xi表示ni次独立重复试验中事件A出现的次数,而且每次试验中A出现的概率均为p,i=1,2,···,m,而X1,…,Xm独立,可知Y=X1+X2+···+Xm是n1+n2+···+nm次独立试验中A出现的次数,而且每次试验中A出现的概率保持p,故可得Y～b(n1+n2+…+nm,p)。 二、连续型随机变量函数的分布 问题： 设(X,Y)为连续型随机向量,具有概率密度f(x,y),又Z=g(X,Y)为X与Y的函数,若Z是连续型随机变量,要求Z的概率密度。 一般的方法是先求出Z的分布函数Fz(z), 例: 设(X,Y)的概率密度为  －∞x+∞, －∞y+∞求 的概率密度 1．Z=X+Y的分布： 设(X,Y)的概率密度为f(x,y),则Z=X+Y的分布函数为 特别地,当X和Y相互独立时,设(X,Y)关于X,Y的边缘概率密度分别为fx(x),fY(y),则两式分别为 解: 由公式 这个结论可推广到n个独立正态随机变量之和的情况,即若 Xi?N(μi,σi2),(i=1,2,···,n),且它们相互独立,则它们的和Z=X1+X2+···+Xn仍然服从正态分布,且有Z?N(μ1+μ2+···+μn，σ12+σ22+….+σn2). 例2: 在一简单电路中,两电阻R1,R2,相互独立,它们的概率密度均为  解: 由公式，R的概率密度为 将f(x)的表达式代入上式得 2． M=max(X,Y) N=min(X,Y)的分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为Fx(x)和FY(y).现在来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数. 由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z,故有 P{M?z}=P{X?z,Y?z} 又由于X和Y相互独立,得到M=max(X,Y)的分布函数为 类似地,可得N=min(X,Y)的分布函数为 特别,当X1,X2,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,有Fmax(z)=[F(z)]n, Fmax(z)=1-[1-F(z)]n. 例: 设系统L由两个相互独立的子系统L1,L2联接而成,联接的方式分别为(i)串联,(ii)并联,(iii)备用(当系统L1损坏时,系统L2开始工作),设L1,L2的寿命分别为X,Y,已知它们的概率密度分别为 解: (i)串联的情况 由于当L1,L2中有一个损坏时,系统L就停止工作,所以这时L的寿命为 Z=min(X,Y)。  由指数分布X,Y的分布函数分别为 于是Z=min(X,Y)的概率密度为 于是Z=max(X,Y)的概率密度为 当z0时,f(z)=0,于是Z=X+Y的概率密度为 三、随机变量变换的定理 设(X,Y)具有概率密度f(x,y), U=g(X,Y), V=h(X,Y)，一般地,如何由(X,Y)的密度去求(U,V)的概率密度,为此,我们有以下定理： 定理. 设(X,Y)有联合密度f(x,y),且