概率论与数理统计李云龙 5.2 方差新.pptVIP

§5.2 方差 方差在经济上可以反映一种风险程度 例如：某公司有100万资金，可以投资某工程项目， 如项目非常成功每年可获利50万（概率为0.6）， 如效益一般，则可获利20万（概率0.3），如项目 失败则投资全部损失（概率0.1）。现在来评估投 资风险。 * * 例如 0.8 0.2 0 P 2 1 0 0.1 0.3 0.6 P 2 1 0 一、方差的定义 定义： 设 是一个随机变量，若 存在，则称 为 的方差， 记作 （或 ），同时称 为标准差(或均方差) ，记作 。 注：r.v.X的方差反映了它的取值与其数学期望的 偏离程度，它是衡量取值分散程度的一个尺度。 例如 0.8 0.2 0 P 2 1 0 0.1 0.3 0.6 P 2 1 0 对于离散型r.v.X有 对于连续型r.v.X有 2、由于 3、简化公式 1、r.v.X的方差反映了它的取值与其数学期望的偏离程度,它是衡量取值分散程度的一个尺度。 若X的取值比较集中，则方差较小； 若X的取值比较分散，则方差较大； 若方差D(X)=0，则随机变量X以概率1取常数值。 注： 二、方差的性质 （1） （2） （3） 若X,Y相互独立，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。 D(X)=0的充要条件是X取常数c,即 注：1、 不一定成立。 2、 3、 若 独立，则 D(X-Y)=D(X)+D(Y) ( D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2[(X-E(X))(Y-E(Y))]) 4、D(kX+c)= D(X) 三、六种常见分布的方差 1、两点分布X～(0-1) 2、二项分布X～B(n,p) 3、泊松分布X～P(λ) 服从参数为n,p的二项分布的r.v.X的数学期望是np. X~B(n,p), 若设 则X= X1+X2+…+Xn = np i=1,2，…，n 因为P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1-p 所以E(X)= 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. E(Xi)= = p 4、均匀分布X～U(a,b) 5、指数分布X～E(λ) 例如: 设随机变量 相互独立, 且 服从参数为 的指数分布, 求 。 6、正态分布 由于 那么 ，有 例1: 设随机变量 服从参数为 的泊松分布，且已知 ，求参数 。 例3：X~B(n,p), 且E(X)=3,D(X)=2,求P(X8) 例2：X服从泊松分布,且P(X=1)=P(X=2),求E(X),D(X). 四、举例 例4：若随机变量 有 求 和 。 例5：设随机变量 的概率密度为 求： 和 。 例6：设两个随机变量 相互独立，且都服从均值为0， 方差为 的正态分布，求随机变量 的方差。 设X表示实际收益，则期望收益为E(X)=36(万)；标准差反映了实际收益与期望收益的“平均差距”为D(X)=324，所以投资“风险”大约是标准差σ(X)=18万。