概率论与数理统计李云龙 6.1+6.2新.ppt

第六章 统计及其分布 引言：数理统计学是一门关于数据收集、整理、分析和推断的科学。在概率论中已经知道，由于大 量的 随机试验中各种结果的出现必然呈现它的 规律 性，因而从理论上讲只要对随机现象进行 足够多次观察，各种结果的规律性一定能清楚 地呈现，但是实际上所允许的观察永远是有限 的，甚至是 少量的。 例如：若规定灯泡寿命低于1000小时者为次品，如何确定次品率？由于灯泡寿命试验是 破坏性试验，不可能把整批灯泡逐一检测，只 能抽取一部分灯泡作为样本进行检验，以样本 的信息来推断总体的信息，这是数理统计学研 究的问题之一。 §1 总体和样本 总体：研究对象的全体。如一批灯泡。 个体：组成总体的每个元素。如某个灯泡。 抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。 随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,…,Xn), n为样本容量 简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,…,Xn)称为简单随机样本。 1. 每个Xi与X同分布 2. X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量 [说明]：后面提到的样本均指简单随机样本，由概率论知，若总体X 具有概率密度f(x)， 则样本（X1,X2,…,Xn）具有联合密度函数： 统计量：样本的不含任何未知参数的函数。 常用统计量：设（X1,X2,…,Xn）为取自总体X的样本 随机变量独立性的两个定理 §2 常用的分布 正态总体样本均值和方差的分布 6.2 统计量及抽样分布 二、抽样分布 （一）概念 　　　　　 　　　　　 精确分布／小样本分布：大多数是在正态分布总体条件下得到的，但应用不广 （二）种类　　　　　 　　　　渐进分布／大样本分布：样本容量无限增大时统计量的极限分布，可看作是抽样分布的一种近似 　　　　　　　　 （三）、样本平均数的抽样分布 1、总体方差 已知时，样本平均数 的抽样分布 [定理7–1] 设总体 ，（ ）是一个简单随机样本，则有： ~ （ ， ） 将样本平均数标准化，即有： （0，1） 上述定理说明：样本平均数的数学期望值等于总体平均数，样本平均数的方差等于总体方差除以样本容量，同时也说明了样本平均数抽样分布具有的基本性质 （三）样本平均数的抽样分布 1、总体方差 已知时，样本平均数 的抽样分布 [定理7-2]中心极限定理：设 是具有期望值 ，方差 的任意总体，则样本平均数的抽样分布将随 的增大 而趋于总体平均数为 ，标准差为 的正态分 布，即 渐近服从 ( ， )。 将这一正态随机变量进行标准化，则有： 0，1) **说明：样本无论抽自正态或非正态总体，只要样本容量足够大，在总体平均数 和方差 已知和有限的条件下，样本平均数 的抽样分布就会趋于正态分布。一般认为样本容量 ≥30时，即可用定理7-2作为推断的依据。 2、总体方差 未知时，样本平均数 的抽样分布 当总体方差 未知时，可以用样本方差 代替总体方差 ，或用样本标准差 代替总体标准差 ，则有： [定理7—3] 设总体 ， ）,（ ）是其一个简单随机样本，样本平均数为 ，样本标准差 ， 则统计量 ~ （ ） **即当总体方差未知时，样本平均数服从自由度为 的 分布 （四）样本比例（成数）的抽样分布